【角の二等分線#2】外角から見抜く！二等辺三角形に気づく発想法

角の二等分線を見たとき、まず最初に持ち出したい発想は線分比です。そして、もう一つ角が同じ大きさであれば、二等辺三角形が隠れている可能性があります。

この記事では、#1 より一段階レベルを上げて、外角に注目することで二等辺三角形を見抜く発想を扱います。外角に注目すると二等辺三角形が自然と見えてくる──これが今回のテーマです。

まだの方は #1（入門編） を先に読むと理解がスムーズです。また、発想が身についた方は #3（高校入試編） に挑戦してみてください。

外角から二等辺三角形を見抜く

図の？を求めよ。

まずは #1 と同様に、相似から $\mathrm{BC}$ の長さを求めるところまではスムーズに進めたいところです。その上で、この問題の核心である「外角 → 二等辺三角形」の発想が引き出せるかがポイントです。

では、順に見ていきます。

$\triangle\mathrm{BAP}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCA}$ より、

\begin{eqnarray} \mathrm{BA}:\mathrm{BC} &=& \mathrm{BP}:\mathrm{BA}\\ 6:\mathrm{BC} &=& 4:6\\ \therefore\; \mathrm{BC} &=& 9 \end{eqnarray}

ここからが #2 の核心です。

外角の性質より、

$$\angle\mathrm{AQB}=\angle\mathrm{ACQ}+\angle\mathrm{CAQ}=”〇”+”×”$$

つまり、ここで$\angle\mathrm{BAQ}=\angle\mathrm{BQA}$ の二等辺三角形が現れます。

$\triangle\mathrm{ABQ}$ は二等辺三角形

よって、

$$\mathrm{BQ}=\mathrm{BA}=6$$

$$\therefore\;\mathrm{QC}=3$$

#1 では角度そのままで二等辺三角形が見えましたが、#2 では外角の定理を使って角度を組み合わせることで二等辺三角形が見えてきました。

このように、角の二等分線の問題では、

二等辺三角形が隠れている場合がある

という発想を持っておくと、一気に読み解きやすくなります。

次は、実際の高校入試問題でこの発想を使ってみましょう。ここまで来たあなたなら、きっと読み解けます。