三平方の定理の問題では、まず三角定規の辺の比＝基本の直角三角形を思い出すことが大切です。そして、この三角定規を2つ組み合わせたときにできる三角形こそ、入試で見落としがちな特殊角になります。105° や 75° が出てきたら、三角定規の組み合わせを疑えるようにしておきたいところです。また、5-12-13 と 3-4-5 の直角三角形を組み合わせた図形も、入試でよく見かける典型パターンです。
三平方の定理そのものの理解は、下記のページで鮮やかに証明していますので、まだの方は先にご覧ください。
基本の直角三角形
まずは基本形から確認していきます。
上の二つは三辺の比が整数になる直角三角形、下の二つは三角定規です。どちらも高校入試で頻出なので、基本形として確実に覚えておきましょう。
特殊な直角三角形1
105度編
問題にしてみる
下の三角形の残りの辺の長さを求めよ。
三角定規をくっつけた三角形
一気通貫アニメーションで確認します。
くっつける様をアニメーションで確認
75度編
問題風にしてみる
下の三角形の残りの辺の長さを求めよ。
三角定規をくっつけた三角形
一気通貫アニメーションで確認します。
くっつける様子をアニメーションで確認
特殊な直角三角形2
三辺の長さ編
問題風にしてみる
面積を求めよ。
面積を求めるには高さが欲しいです。
基本の直角三角形をくっつけた三角形
一気通貫アニメーションで確認します。
解答が書けるように
まずは点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線を下ろします。
直角三角形が二つできますので、底辺の長さを文字で置きます。$\mathrm{BH}=x$ と置けば、$\mathrm{HC}=14-x$ です。
ここで、二つの直角三角形それぞれに三平方の定理を適用します。まずは左側。
そして、右側。
二つの式が $\mathrm{AH}^2$ で結ばれているので、$x$ について解きます。
計算は省略して、$x=5$ と求まります。
すると、$\mathrm{BH}=5$, $\mathrm{HC}=9$ と求まります。
$x=5$ が求まれば、これを $\mathrm{AH}$ の式に代入することにより、
$$\mathrm{AH}=12$$
もすぐに求まります。
これは、よく見ると基本の直角三角形を二つくっつけたものになっています。
問題は「面積を求めよ」でしたので、求めます。
まとめ
見落としがちな特殊な三角形を取り上げました。高校入試では頻繁に出てきますが、発想の引き出しを持っていないと気づきにくいタイプの問題です。
$$45^\circ+60^\circ=105^\circ$$
$$45^\circ+30^\circ=75^\circ$$
この角度を見たら、三角定規の組み合わせを思い出せるようにしておきましょう。
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