【場合の数】順列と組み合わせの違いと覚え方｜概念をマスターして楽に数えよう！

場合の数の基本は、まず 樹形図 を描いて状況を整理することです。これは中学内容ですが、確率の単元ではとても重要な基礎になります。
そのうえで 「順列」「組み合わせ」 の考え方を知ると、数え方の見通しが一気によくなります。さらに記号（高校内容）を導入すると、立式がとても楽になります。中学生でも十分理解できる内容なので、ぜひ身につけておきましょう。

樹形図で理解する順列（中学内容）

A,B,C の順列（並べ方）

　順列とは、並べ方のことです。まずは A,B,C の3つを並べる場合を樹形図で見てみましょう。

先頭は A・B・C の 3通り、次は 2通り、最後は 1通り。したがって、

$$3\times 2\times 1=6$$

通りとなります。

5 個すべてを並べる順列

　考え方は同じですが、樹形図は大きくなるので途中までだけ描きます。

先頭は5通り、次は4通り、… と続くので、

$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$

5 個から 3 個を選んで並べる順列

　今度は「全部ではなく一部だけを使う」場合です。樹形図は途中までで十分です。

先頭5通り → 次4通り → 次3通りなので、

$$5\times 4\times 3=60$$

組み合わせの考え方（順番を気にしない）

　ここからは「順番を気にしない」選び方、つまり 組み合わせ を考えます。

アニメーション解説

ステップバイステップ解説

先ほど見たように、これは $60$ 通りです。ここでは①-⑥を違うものとして数えています。

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組み合わせでは、これら①-⑥を同じものとして数えます。つまり、6通りずつ同じ組み合わせが現れます。
したがって、上で求めた $60$ を $6$ で割ります。この $6$ は、$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の $3$ つを並べる数え方、$3\times 2\times 1$ です。

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最後に、これらに記号を作ります。$_5\mathrm{P}_3$ と $_5\mathrm{C}_3$ です。記号はこの後詳しく述べます。

記号を導入してすっきりさせる（高校内容）

ここからは記号を使って今までの考え方をすっきり表します。高校内容ですが、中学生でも理解できます。

階乗 $n!$

$n$ 個すべてを並べるとき（順列）、

$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1$$

となります。これを

先の例では、「A,B,Cの順列（並べ方）」に相当し、

$$3!=3\times 2\times 1=6$$

順列 $_n\mathrm{P}_r$

$n$ 個の中から $r$ 個を選んで並べる 順列 は、

と書きます。$\mathrm{P}$ は Permutation（順列）の頭文字です。

先の例では、「5個から3個を選んで並べる順列」に相当し、

$$_5\mathrm{P}_3=5\times 4\times 3=60$$

組み合わせ $_n\mathrm{C}_r$

組み合わせは「順列 ÷ 並べ方の数（$r!$）」で求まります。

$\mathrm{C}$ は Combination（組み合わせ）の頭文字です。

先の例では、「5個から3個を選ぶ組み合わせ」に相当し、

$$_5\mathrm{C}_3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$$

まとめ

順列と組み合わせの違いは次の通りです。

• 順列：異なるものとして数える（順番を気にする）
• 組み合わせ：同じものとして数える（順番を気にしない）

記号を使うと立式がとても楽になり、確率の問題でも見通しがよくなります。

次の記事では、これらの考え方を実際の確率の立式にどう使うかを見ていきます。