この記事は「内接円と外接円」シリーズの入試問題編です。基礎編で学んだ導き方、実践編で身につけた使い方を、実際の入試問題で総合的に使いこなせるかを確認します。
内接円の問題は、接点までの距離の性質、三平方の定理、円周角の定理など、重要な知識がギュッと詰まっています。図とアニメーションを使いながら、入試レベルの解法パターンをスッキリ整理していきましょう。
近大和歌山 2025年度
問題
下図の等脚台形 $\mathrm{ABCD}$ について、
(1) 辺 $\mathrm{AB}$ の長さは？
(2) 内接円 $\mathrm{O}$ の半径は？
一気通貫アニメーション
このアニメーションが頭の中で自動再生されるようになると、台形＋内接円の問題は一気に楽になります。
解説
(1) 辺 $\mathrm{AB}$ の長さは？
等脚台形なので左右は対称です。したがって、上底の $\mathrm{AD}$ は左右に半分ずつ分かれます。
さらに、接点までの距離は等しいので、上側は次のように整理できます。
同様に下側も整理すると、
よって、$\mathrm{AB}=9$ です。
$$\mathrm{AB}=9$$
(2) 内接円の半径は？
台形に内接円があるとき、半径は台形の高さの半分です。
したがってまず高さを求めます。
$\mathrm{AB}=9$ を斜辺とする直角三角形を考えると、次のように高さが求まります。
高さは $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
よって、内接円の半径はその半分、
$$r=2\sqrt{5}$$
四天王寺 2024年度
問題
円 $\mathrm{O}$ の半径は 1。$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}=1:2$。
(1) 線分 $\mathrm{OQ}$ の長さは？
(2) 図の黄色部分の面積は？
(3) 3点 $\mathrm{O}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る円の半径は？
一気通貫アニメーション
(1)〜(3) をまとめたアニメーションです。全体の流れをつかむのに最適です。
解説
(1) 線分 $\mathrm{OQ}$ の長さは？
一気通貫アニメーション（(1) のみ）
まずは (1) の流れだけを確認します。
接点までの距離は等しい
接点までの距離は等しいので、$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$ です。
$\triangle\mathrm{PBQ}$ は 30°–60°–90° の直角三角形
接線より $\angle\mathrm{PBQ}=90^\circ$。
$\mathrm{PB}:\mathrm{PQ}=1:2$ なので、$\triangle\mathrm{PBQ}$ は $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ の直角三角形です。
同様に、直線 $l$ も接線なので $\angle\mathrm{OAQ}=90^\circ$。
$\triangle\mathrm{OQA}$ も $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ の直角三角形。
よって、$\mathrm{OQ}=2$（$\because \mathrm{OA}=1$）。
$$\mathrm{OQ}=2$$
(2) 図の黄色部分の面積は？
方針を立てる
扇形の面積はすぐに求まります。したがって、求めたい黄色部分を含む
四角形 $\mathrm{OAPB}$
の面積が分かればよい、という方針になります。
そしてこの四角形 $\mathrm{OAPB}$ は、直角三角形 $\mathrm{OAP}$ の面積の 2 倍です。
高さ $\mathrm{AP}$ を求める
$\mathrm{AQ}=\sqrt{3}$ が分かっているので、$\mathrm{AP}$ も既知です。
四角形 $\mathrm{OAPB}$ の面積
よって、四角形 $\mathrm{OAPB}$ の面積は
$$1\times\frac{\sqrt{3}}{3}$$
ここから扇形 $\mathrm{OAB}$ の面積
$$\pi\cdot 1^2\times\frac{1}{6}$$
を引けばよいので、求める面積は
$$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{6}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{6}$$
(3) 3点 $\mathrm{O}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る円の半径は？
一気通貫アニメーション
円は 3 点が決まれば一意に決まる
円は 3 点が決まれば一意に決まります。したがって、3 点 $\mathrm{O}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を通る円は必ず存在し、次のように描けます。
しかし、半径をどう求めるかが悩みどころです。
「P が中心かも？」という発想
少し勘を働かせて、
もしかして $\mathrm{P}$ が中心？
と希望を持って眺めてみます。すると、$\angle\mathrm{QPR}=120^\circ$ に気づきます。
さらに、
$\angle\mathrm{O}=60^\circ$ にも気づきます。
これは円周角の定理と一致しており、点 $\mathrm{P}$ が中心であることを示しています。
半径を求める
よって、円の半径は $\mathrm{PQ}$ です。
$$\mathrm{PQ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
アニメーションでは、$\mathrm{PQ}$ を回転させて半径であることを確認しています。
円の半径は、$\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}$
愛知県B 2018年度
問題
立体は正三角柱で、球 $\mathrm{O}$ は正三角柱にちょうど入っている。
球 $\mathrm{O}$ の半径が $2\mathrm{cm}$ のとき、正三角柱の体積は？
※この問題は(2)。(1)は球の表面積だが、ここでは省略。
一気通貫アニメーション
解説
高さは球の直径
三角柱の体積は、底面積 × 高さ で求めます。高さはすぐに分かります。球の半径が $2$ なので、直径は $4$。これが三角柱の高さです。
底面積は「平面で切る」と見えてくる
立体は「どこで切るか」が勝負
次に底面積である正三角形の面積を求めます。球が「ちょうど入っている」ということは、三角柱の側面は球に接しています。つまり、高さの半分の位置で接しているということです。
そこで、三角柱を高さの半分で切って平面で考えます。立体は平面で切ると一気に見通しがよくなるのがポイントです。
すると、正三角形の中に円がきれいに収まっている図が得られます。球の半径が $2$ なので、三角形の高さは $6$ であることが分かります。
というのも、この円の中心は正三角形の重心であり、重心の性質
$\mathrm{AO}:\mathrm{OH}=2:1$
より、$\mathrm{OH}=2$ から高さが $6$ と分かるためです。
重心に気づかなくても解けるようになる
もちろん、重心に気づかなくても解けます。数学では、気づけば楽、気づかなくても強引に解けるの両方が大事です。
強引に三平方の定理で求める場合、$\mathrm{OH}=2$ より、$\triangle\mathrm{OBH}$ は $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ の直角三角形なので、
$$\mathrm{BH}=\sqrt{3}\,\mathrm{OH}=2\sqrt{3}$$
さらに、$\triangle\mathrm{ABH}$ も $30^\circ$–$60^\circ$–$90^\circ$ の直角三角形なので、
$$\mathrm{AH}=\sqrt{3}\,\mathrm{BH}=6$$
面積を求める
よって、正三角形の面積 $S$ は
$$S=4\sqrt{3}\times 6\div 2=12\sqrt{3}$$
体積を求める
三角柱の体積 $V$ は
$$V=12\sqrt{3}\times 4=48\sqrt{3}$$
三角柱の体積は、$48\sqrt{3}$
まとめ
この記事では、内接円の高校入試問題を 3 題扱いました。どの問題も、接点までの距離は等しいという基本性質と、三平方の定理、そして場合によっては円周角の定理が組み合わさって解ける構造になっています。
近大和歌山の問題では、接点の性質と三平方の定理を使って、台形の高さをどう導くかがポイントでした。
四天王寺の問題では、接点の性質と三平方に加えて、円周角の定理から円の中心を見抜くという、入試らしい総合力が問われました。
最後の愛知県の問題は立体でしたが、立体も切ってしまえば平面です。どこで切るとよいのかを見極めることが、立体図形のキモでした。
内接円の問題は、公式を覚えるよりも、図形の構造を理解し、必要な量を導けるようになることが何より大切です。基礎編・実践編で学んだ考え方を入試問題で使いこなせたら、もう内接円は怖くありません。
次は、関連テーマである外接円に進んで、理解をさらに深めていきましょう。
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