【内接円：基礎編】公式を覚えずに導ける！三角形の内接円の半径と接点の距離をスッキリ理解

この記事は「内接円と外接円」シリーズの基礎編です。三角形の内接円の半径や接点までの距離を、公式として覚えるのではなく自分で導けるようになることを目的としています。

図とアニメーションを使いながら、内接円の仕組みを“分割の発想”から丁寧に理解していきます。ここで世界観をつかめば、実践編や入試問題編でも迷わなくなります。

まずは、内接円の半径と接点までの距離を求める基本公式を、スッキリと整理していきましょう。

面積と3辺の長さを元に内接円の半径を求める

公式

面積が $S$ と与えられている場合、内接円の半径 $r$ は次のように求まります。

証明

ただし、公式を丸暗記する必要はありません。次のアニメーションのように、都度考えられるようになる方が圧倒的に強いです。

内接円の中心 $\mathrm{O}$ を使って $\triangle\mathrm{ABC}$ を3つの三角形に分けると、

\begin{eqnarray} S &=& \triangle\mathrm{OBC}+\triangle\mathrm{OCA}+\triangle\mathrm{OAB}\\ &=& \frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr\\ &=& \frac{1}{2}r(a+b+c)\\ \therefore\; r &=& \frac{2S}{a+b+c} \end{eqnarray}

3辺の長さを元に頂点から接点までの距離を求める

公式

これも公式としては次のように書けますが、覚える必要はありません。

証明

次のアニメーションのように、接線の性質を使って都度考えられるようになりましょう。

辺 $\mathrm{AC}$ と辺 $\mathrm{AB}$ の和から辺 $\mathrm{BC}$ を引くと、接点までの距離 $x$ が2つ分残ります。

\begin{eqnarray} 2x &=& (x+z) + (x+y) – (y+z)\\ &=& b+c-a\\ \therefore\; x &=& \frac{b+c-a}{2} \end{eqnarray}

特に直角三角形の場合は半径が求まったことになる

特に $\angle\mathrm{A}=90^\circ$ の直角三角形では、青い部分が正方形になるため、上で求めた $x$ がそのまま内接円の半径 $r$ になります。

ちょっとした発展問題

問題

直角三角形であることから、三平方の定理を使うことが想像できます。三平方は入試頻出なので、この機にマスターしておきましょう。

解説

他の辺は $x$ を使って次のように表せます。

これに三平方の定理を適用すると、

\begin{eqnarray} (x+a)^2+(x+b)^2 &=& (a+b)^2\\ (x^2+2ax+a^2)+(x^2+2bx+b^2) &=& a^2+2ab+b^2\\ 2x^2+2(a+b)x &=& 2ab\\ x^2+(a+b)x &=& ab\tag{1}\label{p7920eq1} \end{eqnarray}

面積 $S$ は

$$S=\frac{1}{2}(x+a)(x+b)=\frac{1}{2}\{x^2+(a+b)x+ab\}$$

なので、\eqref{p7920eq1} を代入すると、

\begin{eqnarray} S &=& \frac{1}{2}(ab+ab)\\ &=& ab \end{eqnarray}

美しい図形証明

この $S=ab$ を図形的に理解すると、さらに美しい世界が見えてきます。次のアニメーションで確認しましょう。

すなわち、

$$\triangle\mathrm{OFH}\equiv\triangle\mathrm{BFP},\;\;\triangle\mathrm{OGH}\equiv\triangle\mathrm{CGR}$$

と気づけば、青い部分の面積は橙色の部分と等しく、$ab$ であることが分かります。

まとめ

内接円の基礎を整理しました。公式は覚えるのではなく、導けるようになりましょう。理解できたら実践編で実際の問題に挑戦してみてください。