【台形型相似】補助線だけが解き方じゃない！辺の長さは“線形に増える”だけ

サムネ画像のような台形の問題は、一般には補助線を入れて三角形の相似で解きます（解答1,2）。しかし、台形という図形の本質である 「長さが線形に増える」 イメージをつかめば、解答3のように暗算で一発です。

ねじれても考え方は同じです↓。

問題設定：台形の基本形

真にマスターしてほしいのは 解答3（線形イメージ） です。解答1,2は教科書的な方法。解答4は公式化ですが、覚える必要はありません。

解答1. $\mathrm{D}$ から $\mathrm{AB}$ に平行な補助線

イメージ

解

$\mathrm{D}$ から $\mathrm{AB}$ に平行な補助線を引き、$\mathrm{BF}$, $\mathrm{EF}$ との交点を $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$ とする。

\[ \mathrm{BG}=3,\quad \mathrm{EH}=3 \]

\[ \therefore\mathrm{GC}=6 \]

さらに、$\triangle\mathrm{DGC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{DHF}$ で相似比は \(3:2\)。$\mathrm{GC} = 6$ なので、

\(\mathrm{HF}=4\)　（→解説1）

$\mathrm{EH} = 3$ なので、$\mathrm{EF}=7$

解説1. $\mathrm{HF} = 4$ は目の子で求めよう

相似の比例式で求めてもよいですが、目の子で捉えられると圧倒的に楽です。それは、「$6$ を三等分して $2 → 4 → 6$ と増える」と捉えます。

解答2. $\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ への補助線

イメージ

解

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ へ補助線を引き、$\mathrm{EF}$ との交点を $\mathrm{H}$ とします。

$\triangle\mathrm{ABC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{AEH}$ で相似比は \(3:2\)、$\mathrm{BC} = 9$ なので、

\[ \mathrm{EH}=6 \]

同様に、$\triangle\mathrm{CAD}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{CHF}$ で相似比は \(3:1\)、$\mathrm{AD} = 3$ なので、

\[ \mathrm{HF}=1 \]

ゆえに、

\[ \mathrm{EF}=7 \]

解答3. 直接「線形に増える」イメージで捉える（本質）

ここが台形型相似の本質です。$\mathrm{AB}$ も $\mathrm{DC}$ も線形(直線)なので、$\mathrm{AD}$ を平行移動すると、その長さは線形(直線的)に変化します。

つまり、$\mathrm{EF}$ の長さは $\mathrm{AD}=3$ から徐々に成長して $\mathrm{BC}=9$ に行く途中にある、というイメージです。

このイメージを持てば、目の子で

\[ \mathrm{EF}=7 \]

と一発で出ます。先ほどの 解説1 の「目の子」も、この線形イメージがあれば自然に理解できます。

解答4. 公式化（加重平均）

\(\mathrm{EF}=\displaystyle\frac{na+mb}{m+n}\)

補助線での相似関係を整理すると、このように公式化できます。覚える必要はありませんが、加重平均の構造として理解しておくと、他分野とつながって理解が深まります。

加重平均とは例えば、$3$ 点の人が $1$ 人、$9$ 点の人が $2$ 人なら

\[ \frac{3\times 1 + 9\times 2}{1+2}=7 \]

と計算します。一方、通常の平均では

\[ \frac{3+9+9}{3}=7 \]

と計算しますが、結果は同じです。

まとめ

台形型相似では、まず補助線で相似を見つける方法が確実です。しかし、台形の本質である 「長さは線形に増える」 というイメージを持てば、答えはほとんど一発で出せます。

公式や手順に縛られず、図形の“増え方の感覚”を大切にしてください。

ねじれても考え方は同じです↓。