【台形型相似の応用】入試でも同じ！複雑に見えても“線形に増える”だけ

問題1：22年 帝塚山学院泉ヶ丘

(1) $\mathrm{EG}:\mathrm{GF}$ を求めよ。

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比例で内分していくイメージを持てば、目の子で長さは求められます。

この記事↓の「直接に目の子で捉える」も参照ください。

解. $\mathrm{EG}:\mathrm{GF}$ を求めよ。

(2) $\triangle\mathrm{CHF}$ と台形 $\mathrm{BCGE}$ の面積比を求めよ。

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(1)より $\mathrm{EG}:\mathrm{GF}=3:\displaystyle\frac{6}{5}$ ですが、その $\mathrm{GF}$ が成長して $\mathrm{CH}$ になるイメージを持てると見通しがよいです。

解. 面積比を求めよ。

$\triangle\mathrm{AGF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ACH}$ で相似比が $3:5$ なので、

\[ \mathrm{GF}:\mathrm{CH} = 3:5 = \frac{6}{5}:2 \]

求めたいのは、

$\triangle\mathrm{CHF}$ と 台形 $\mathrm{BCGE}$ の面積比

です。両者は高さが同じなので、底辺比で比較できます。台形 $\mathrm{BCGE}$ を $\triangle\mathrm{BGE}$ と $\triangle\mathrm{BGC}$ に分けると、

$\mathrm{CH}$$\;:\;(\;$$\mathrm{EG}$$\;+\;$$\mathrm{BC}$$\;)\; =\;$$\displaystyle\frac{10}{5}$$\;:\;(\;$$3$$\;+\;$$5$$\;) = 1:4$

(3) $\mathrm{EJ}:\mathrm{JD}$ を求めよ。

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蝶々型三角形が見えればすぐに解けます。

蝶々型三角形の復習はこちら↓。

解. $\mathrm{EJ}:\mathrm{JD}$ を求めよ。

$\triangle\mathrm{JEF}$$\;\unicode[sans-serif]{x223D}\;$$\triangle\mathrm{JDA}$

より、

$\mathrm{EF}$$\,:\,$$\mathrm{DA}$$\; = \left(3+\displaystyle\frac{6}{5}\right):3 = \displaystyle\frac{21}{5}:3 = 7:5$

したがって、

$\mathrm{EJ}$$\,:\,$$\mathrm{JD}$$\,=7:5$

(4) $\triangle\mathrm{CHF}$ と $\triangle\mathrm{AIJ}$ の面積比を求めよ。

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(4)は少し道のりが長いです。まずは全体像を一気通貫で見てから、後半で細かく分けてイメージをつけていきます。

ポイントは、$\triangle\mathrm{CHF}$ と $\triangle\mathrm{AIJ}$ の面積を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表すことです。

一気通貫

解

$\triangle\mathrm{ADI}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{GEI}$ で $\mathrm{AD}=\mathrm{EG}$ より相似比は $1:1$。つまり、

$$\mathrm{EI}:\mathrm{ID}=1:1$$

これと、(3)で求めた

$$\mathrm{EJ}:\mathrm{JD}=7:5$$

を合わせると、

$$\mathrm{EI}:\mathrm{IJ}:\mathrm{JD}=6:1:5$$

よって、

また、

\[ \frac{\triangle\mathrm{AIJ}}{\triangle\mathrm{CHF}} = \frac{\cancel{\text{台形}\mathrm{ABCD}}\times\frac{3}{8}\times\frac{3}{5}\times\frac{1}{12}} {\cancel{\text{台形}\mathrm{ABCD}}\times\frac{5}{8}\times\frac{16}{25}\times\frac{1}{4}} = \frac{3}{16} \]

解説：細かく分けながらイメージをつかむ

$\mathrm{EI}:\mathrm{IJ}:\mathrm{JD}$ を求める

(3)で $\mathrm{EJ}:\mathrm{JD}$ を求めていますので、あとは $\mathrm{EI}:\mathrm{ID}$ が求まれば $\mathrm{EI}:\mathrm{IJ}:\mathrm{JD}$ が求まります。ここで蝶々型相似が見えればOKです。

$\mathrm{EI}:\mathrm{ID}=1:1$ が分かった後、$\mathrm{EI}:\mathrm{IJ}:\mathrm{JD}=6:1:5$ をどう見つけるか。立式するとかえって混乱するので、図形の“増え方”の感覚で捉えるのが大切です。

$\triangle\mathrm{AIJ}$ を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表す

次のステップで面積を拡大していきます。

• #1: $\triangle\mathrm{AIJ}$ を $\triangle\mathrm{AED}$ の面積比で表す
• #2: さらに拡大して $\triangle\mathrm{ABD}$ の面積比で表す
• #3: さらに拡大して台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表す

#1: $\triangle\mathrm{AIJ}$ を $\triangle\mathrm{AED}$ の面積比で表す

$\triangle\mathrm{AIJ}$ と $\triangle\mathrm{AED}$ は高さが同じなので、面積比は底辺比です。

\[ \triangle\mathrm{AIJ} = \triangle\mathrm{AED}\times\frac{1}{6+1+5} = \triangle\mathrm{AED}\times\frac{1}{12} \]

#2: さらに拡大して $\triangle\mathrm{ABD}$ の面積比で表す

$\triangle\mathrm{AED}$ と $\triangle\mathrm{ABD}$ は高さが同じなので、面積比は底辺比です。

\[ \triangle\mathrm{AED} = \triangle\mathrm{ABD}\times\frac{3}{3+2} = \triangle\mathrm{ABD}\times\frac{3}{5} \]

#3: さらに拡大して台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表す

$\triangle\mathrm{ABD}$ と $\triangle\mathrm{DBC}$ は高さが共通なので、面積比は底辺比です。

\[ \triangle\mathrm{ABD} = \text{台形}\mathrm{ABCD}\times\frac{3}{3+5} = \text{台形}\mathrm{ABCD}\times\frac{3}{8} \]

#4: $\triangle\mathrm{AIJ}$ を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表せた

以上より、

\[ \triangle\mathrm{AIJ} = \text{台形}\mathrm{ABCD} \times\frac{3}{8} \times\frac{3}{5} \times\frac{1}{12} \]

$\triangle\mathrm{CHF}$ を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表す

(2)より $\triangle\mathrm{CHF}$ と台形 $\mathrm{BCGE}$ の面積比は $1:4$ と分かっています。したがって、$\triangle\mathrm{CHF}$ を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表すには、台形 $\mathrm{BCGE}$ を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表せばよいです。

#1: 台形 $\mathrm{BCGE}$ を $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積比で表す

$\triangle\mathrm{ABC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{AEG}$ で相似比 $3:5$ より、

\[ \triangle\mathrm{AEG} = \triangle\mathrm{ABC}\times\left(\frac{3}{5}\right)^2 \]

よって、

\[ \text{台形}\mathrm{BCGE} = \triangle\mathrm{ABC} \left(1-\frac{9}{25}\right) \]

#2: さらに拡大して台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表す

$\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{ADC}$ は高さが共通なので、面積比は底辺比です。

\[ \triangle\mathrm{ABC} = \text{台形}\mathrm{ABCD}\times\frac{5}{8} \]

#3: $\triangle\mathrm{CHF}$ を台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積比で表せた

以上より、

\[ \triangle\mathrm{CHF} = \text{台形}\mathrm{ABCD} \times\frac{5}{8} \times\left(1-\frac{9}{25}\right) \times\frac{1}{4} \]

いよいよ面積比を求める

\[ \triangle\mathrm{AIJ} = \text{台形}\mathrm{ABCD} \times\frac{3}{8} \times\frac{3}{5} \times\frac{1}{12} \]

\[ \triangle\mathrm{CHF} = \text{台形}\mathrm{ABCD} \times\frac{5}{8} \times\left(1-\frac{9}{25}\right) \times\frac{1}{4} \]

より、

\[ \frac{\triangle\mathrm{AIJ}}{\triangle\mathrm{CHF}} = \frac{3}{16} \]

まとめ

台形型相似を中心に据えた入試問題でした。台形型相似で辺の長さを求め、その上で面積比を求めるという流れは入試の定番です。線形に増えるイメージを持てれば、複雑な図形でも見通しよく解けるようになります。