連立方程式は「苦手」というより、とにかく面倒くさいと感じる人が多いのではないでしょうか。だからこそ、少しの工夫で計算を軽くできれば一気に楽になり、ライバルに差をつけることができます。
ここでは、展開しない工夫・足して消す工夫・掛けずに済ませる工夫という、連立方程式の楽な解き方「裏技3選」を紹介します。
裏技1：カタマリを使う（展開しない）
次の連立方程式を解け。
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
4(x-1)-3(y+2)=14\cdots ①\\
2(x+1)+3(y+2)=2\cdots ②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
せっかく $3(y+2)$がカタマリになっているので、展開してしまってはもったいないです。
解
①＋②より
\begin{eqnarray} \begin{array}{c} 4(x-1)+2(x+1)=16\\ 6x-2=16\\ 6x=18\\ x = 3 \end{array} \end{eqnarray}
これを②に代入して、
\begin{eqnarray} \begin{array}{c} 8+3(y+2)=2\\ 3(y+2)=-6\\ y+2=-2\\ y=-4 \end{array} \end{eqnarray}
解説
展開してはもったいない
$3(y+2)$ のような部分はカタマリとして扱うと計算が軽くなります。教科書では $Y$ に置き換えたりしますが、置き換えなくても十分カタマリとして扱えます。
代入は「楽な方」を選ぶ
$x$ を求めた後、①でも②でも代入できますが、ここでは②に代入しました。理由は、数字が小さく、$y$ の係数が正だからです。係数が負だと両辺に $-1$ をかける必要があり、ミスの元なのでリスクを減らしたいところです。
展開を後回しにする
$8+3(y+2)=2$ のあと、すぐに展開せず、
$$3(y+2)=-6$$
としています。面倒くさい展開を後回しにするだけで計算が軽くなる典型例です。
確認
WolframAlphaで確認できます。このサイトは計算を解いてくれるだけでなくグラフまで描いてくれるので、連立方程式の理解が深まります。
裏技2：代入しない（足して消す）
次の連立方程式を解け。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{2}{3}y=4\cdots ①\\ y=\displaystyle\frac{x}{2}+1\cdots ② \end{array} \right. \end{eqnarray}
解
①＋②より
$\cancel{\displaystyle\frac{x}{2}}+\displaystyle\frac{2}{3}y$$\;+\;$$y$$\; =\; $$4$$\;+$$\;\cancel{\displaystyle\frac{x}{2}}+1$
\[\frac{5}{3}y = 5\\ y = 3 \]
これを①または②に代入して
$$x=4$$
解説
普通なら②を①に代入したくなりますが、そうすると分数だらけで計算が重くなります。
一方で、①と②の $x$ の項が左右に同じだけあることに気づくと、足し算して消えることが分かります。これが圧倒的に楽。
確認
この答えも、WolframAlphaで確認できます。
裏技3：「足す」方が早いときがある（掛けずに済ませる）
その1
次の連立方程式を解け。
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
3x+2y=-9\cdots ①\\
5x-4y=7\cdots ②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
解
①＋②より
$$8x-2y=-2\cdots ③$$
①＋③より
\begin{eqnarray} 11x &=& -11\\ x &=& -1 \end{eqnarray}
これを①または②に代入して
$$y=-3$$
解説
普通は①×2をして②と足しますが、①＋②で③を作る方が若干数字が小さくなる分、計算が軽いです。
その2
次の連立方程式を解け。
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
4x+3y=5\cdots ①\\
3x-2y=8\cdots ②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
解
①＋②より
$$7x+y=13\cdots ③$$
③×2より
$$14x+2y=26\cdots ③^\prime$$
②＋③′より
\begin{eqnarray} 17x &=& 34\\ x &=& 2 \end{eqnarray}
これを①または②に代入して
$$y=-1$$
解説
普通は①×2、②×3をして足しますが、①＋②をすると $y$ の係数が1 になり、扱いやすくなります。
まとめ
連立方程式は計算が多く、面倒に感じる人が多いですが、ちょっとした工夫で計算を軽くできることが分かったと思います。
また、WolframAlphaを使えば、答えだけでなくグラフ（＝連立方程式の交点）まで表示されます。毎回これを意識すると、数学的な理解が一段深まります。
交点としての理解は下記の記事で詳しく扱っています。
コメント