一見すると難しそうな共通接線の問題でも、基本形がしっかり頭に入っていれば、何を求めればよいかがすぐに見えてきます。よく「基本が大事」と言われますが、基本とは単に簡単な問題のことではなく、難問をほどくための道しるべです。
前稿（基礎編）では、共通接線の問題がすべて直角三角形に帰着することを確認しました。まだ読んでいない方は、先にこちらをご覧ください。
共通接線の難問例
ここからは、基本形をどう使って難問をほどいていくかを見ていきます。ポイントは常に、「基本形に戻す」という発想です。
2円の共通外接線の難問例
$x$ を求めよ。
基本形の確認
まずは、共通接線の基本形を思い出しましょう。
この形から分かるように、必要なのは半径と中心間距離です。しかも、それぞれの値が個別に分からなくてもよいのがポイントです。
求めたい量を文字に置いて立式する
半径のほかに、$\mathrm{BC}=y$ と置きます。すると条件より、
\[ \left\{ \begin{array}{l} 2r_1 + y = 6 \\ 2r_2 + y = 4 \end{array} \right. \tag{1}\label{p7836eq1} \]
式\eqref{p7836eq1} の上下を足すと、
\[ 2(r_1 + r_2 + y) = 10 \]
よって、
\[ r_1 + r_2 + y = 5 \quad (=d) \]
次に、式\eqref{p7836eq1} の上から下を引くと、
\[ 2(r_1 – r_2) = 2 \quad\Rightarrow\quad r_1 – r_2 = 1 \]
ここまでくれば、あとは基本形に戻すだけです。
下図の直角三角形より、三平方の定理を立てると、
\[ x^2 + (r_1 – r_2)^2 = d^2 \] \[ x^2 + 1^2 = 5^2 \] \[ x^2 = 24 \quad\Rightarrow\quad x = 2\sqrt{6} \]
$$x=2\sqrt{6}$$
2円が外接するときの共通外接線の難問例
$\triangle\mathrm{STU}$ の面積を求めよ。
基本形の確認
まずは、共通接線の基本形を思い出しましょう。
ここから分かるように、まずは$x$ を求めるのが基本です。その後、高さが分かれば面積が求められます。
$x$ はすぐに分かる
$x$ は、下図の直角三角形からすぐに求まります。
$$x=2\sqrt{3}$$
あとは高さが求まればよい
高さは、これも「台形型相似」の基本形です。
\[ \mathrm{UH} = \frac{3}{4}\times 1 + \frac{1}{4}\times 3 = \frac{3}{2} \]
この求め方は下記の記事でじっくりとかつ直感的に解説しています。パッと分からなかった方は復習してみてください。
よって、求める面積は、
\[ 2\sqrt{3} \times \frac{3}{2} \div 2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]
$$\triangle\mathrm{STU}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
2円の共通内接線
$\mathrm{ST}$ の長さを求めよ。
基本形の確認
まずは、共通接線の基本形を思い出しましょう。
ここでも必要なのは、半径と中心間距離です。ただし、必ずしも個々の値が分からなくても大丈夫という点がポイントです。
求めたい量を文字に置いて立式する
円 $\mathrm{O}$ の半径を $r_1$、円 $\mathrm{P}$ の半径を $r_2$ と置くと、条件より
\[ 2r_1 + 2 + 2r_2 = 18 \quad\Rightarrow\quad r_1 + r_2 = 8 \]
また、中心間距離 $\mathrm{OP}$ は
\[ d = r_1 + 2 + r_2 = 10 \quad(\because r_1+r_2=8) \]
ここまでくれば、あとは基本形に戻すだけです。
下図の直角三角形より、三平方の定理を立てると、
\[ x^2 + (r_1+r_2)^2 = d^2 \] \[ x^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ x^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad x = 6 \]
$$x=6$$
高校入試問題より
西大和学園 2022年度
色のついている三角形部分の面積を求めよ。
この問題は共通接線を直接扱うものではありません。しかし、基本を大切にする、イメージを大切にするという本稿のテーマに非常に合っています。そこで、ここでも「基本形に戻す」発想がどのように役立つかを見ていきましょう。
一気通貫アニメーションで確認
まずは、解き方のストーリーを頭の中で思い描いてみてください。そのうえで、次のアニメーションを見ると流れが一気につかめます。
解説
辺の長さは相似から分かるが、式を立てるよりイメージで解こう
まず、$\mathrm{AP}=6$ は半径なので即分かります。面積を求めるには、$\mathrm{PQ}$ か $\mathrm{AQ}$ が分かればよいですね。
ここでは $\mathrm{AQ}$ の方が求めやすいので、こちらを先に求めます。$\mathrm{AQ}$ が分かれば、$\mathrm{PQ}$ は三平方の定理で求められます。
では $\mathrm{AQ}$ をどう求めるか。これは三角形の相似を使えばすぐに分かります。しかも、相似比の式を立てなくても、$6 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 0$ と底辺が比例的に縮んでいくイメージができれば十分です。
この「イメージで理解する」姿勢こそ、基本を大切にするということです。難しい式を立てなくても、図形の変化を直感的に追うだけで答えに近づけます。
このイメージは下記の記事でじっくりとかつ直感的に解説していますので、復習したい方はぜひどうぞ。
三平方の定理だが、式の工夫で計算は楽に
$\mathrm{AQ}$ が求まったら、次は三平方の定理で $\mathrm{PQ}$ を求めます。ただし、普通に計算すると少し重いので、ここでは計算を軽くする工夫を使います。
\[ x^2 = 30^2 – 6^2 = (30+6)(30-6) = 36 \times 24 \] \[ x = 6\sqrt{24} = 12\sqrt{6} \]
これは、
$$a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$$
の因数分解を使ったものです。計算が一気に楽になります。
三角形の面積を求める
最後に、求める三角形の面積を計算します。
\[ \triangle\mathrm{APQ} = 6 \times 12\sqrt{6} \div 2 = 36\sqrt{6} \]
$$\triangle\mathrm{APQ}=36\sqrt{6}$$
まとめ
基本が大事とはよく言われますが、その意味が今回の問題を通してよく分かるのではないでしょうか。基本形が頭にしっかり入っていることで、何を求めれば答えに近づくかがイメージできます。
そして、必ずしも個々の値が分からなくても求められる場合があるという点も、共通接線の面白さであり難しさです。これは一般形の練習をしたときに、
「必ずしも個々に分かる必要はない」
という感覚をつかんでおければ、非常にセンスが良いと言えます。
難問に見えても、基本形に戻す → 必要な量を整理する → 三平方で落とすという流れは変わりません。ここまでの流れをしっかり押さえておけば、どんな共通接線の問題でも落ち着いて対処できるようになります。
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