【内接円：実践編】導き方を実際の問題で使いこなす！半径・接点距離を図とアニメで理解

この記事は「内接円と外接円」シリーズの実践編です。基礎編で学んだ「公式を覚えずに導く」考え方を、実際の問題で使えるかどうかを確認する回です。

図とアニメーションを使いながら、内接円の半径や接点までの距離を、問題の流れの中で自然に導けるようになることを目指します。入試で頻出の三平方の定理との組み合わせも扱うので、ここを乗り越えれば内接円の問題は一気に楽になります。

では、実際の問題で「導けるかどうか」を確認していきましょう。

面積と3辺の長さを元に内接円の半径を求める

問題

基礎編（該当箇所はこちら）では、面積が既知の場合に半径を求める方法を扱いました。つまり、面積さえ求められれば基本形に持ち込めるということです。

面積の求め方も基本形です（該当箇所はこちら）。

一気通貫アニメーション

このアニメーションが頭の中で再生されるようになると、非常に強いです。

解説

公式は覚える必要はありませんが、「面積が必要だったな」という感覚は持っておきたいところです。その意味で、公式の形をなんとなく覚えておくのは有益です。

まずは面積を求めます。

三平方の定理を用いて高さを求める

3辺が分かっているときの面積は、三平方の定理で高さを求めることで計算できます。

頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AH}$ を下ろし、2つの直角三角形に分けて三平方を適用します。

$$13^2-x^2=\mathrm{AH}^2=15^2-(14-x)^2$$

これを $x$ について解きますが、そのまま計算すると面倒なので工夫します。

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ を使って計算を楽にする

\begin{eqnarray} 13^2-x^2 &=& 15^2-(14-x)^2\\ (14-x)^2-x^2 &=& 15^2-13^2\\ \{(14-x)+x\}\{(14-x)-x\} &=& (15+13)(15-13)\\ 14(14-2x) &=& 28\times 2\\ 14-2x &=& 4\\ x &=& 5 \end{eqnarray}

平方数を直接扱うより、はるかに楽です。

$x=5$ が求まったので、

\begin{eqnarray} \mathrm{AH}^2 &=& 13^2-5^2\\ &=& (13+5)(13-5)\\ &=& 18\times 8\\ &=& 3^2\times 2^4\\&=&(3\times 2^2)^2\\ \therefore\; \mathrm{AH} &=& 12 \end{eqnarray}

特別な直角三角形（5-12-13）を知っていれば、計算せずに一瞬で分かります。

高さが求まったので面積を求める

高さ $\mathrm{AH}=12$ が求まったので、面積は

$$S=14\times 12\div 2=84$$

面積が求まったので内接円の半径を求める

公式を覚えるより、次の式を立てられるようになる方が有益です。

$$84=\frac{1}{2}\,14r+\frac{1}{2}\,15r+\frac{1}{2}\,13r$$

ここから $r$ を解くと、

3辺の長さを元に頂点から接点までの距離を求める

問題

公式としては

ですが、導き方を理解しましょう。

一気通貫アニメーション

解説

求めたい $x$ を含む辺の和を考えます。

ここから対面の辺を引くと、

余分な $y$ と $z$ が消えて $2x$ だけが残ります。

$$15+13-14=2x$$

よって、$x=7$ です。

直角三角形の場合は三平方の定理を使う

問題

3辺が分かっていませんが、直角三角形なので三平方の定理が使えると分かります。

解説

他の辺は $x$ を使って次のように表せます。

これに三平方の定理を適用すると、

\[(x+6)^2+(x+4)^2 = 10^2\\ 2x^2+20x+52 = 100\\ x^2+10x-24 = 0\\ (x+12)(x-2) = 0\\ x = 2 \]

よって、面積は

$$S=8\times 6\div 2=24$$

これはなんと $ 6\times 4$ だった

これも、公式を覚えておく必要はありません。数学の美しさに感動するだけで充分です。これの計算による証明と、図形による鮮やかな証明は基礎編（該当箇所はこちら）で扱っています。

まとめ

この記事では、基礎編で学んだ「公式を覚えずに導く」考え方が、実際の問題でしっかり使えるかどうかを確認しました。

内接円の半径も、接点までの距離も、公式を暗記する必要はありません。図形を分割し、必要な量を一つずつ積み上げていけば、自然と式が立ち上がります。

特に、三平方の定理との組み合わせは入試で頻出です。今回のように「高さを求める → 面積を出す → 半径を導く」という流れを身につけておくと、どんな問題にも対応できるようになります。

次は、実際の入試問題で総合力を試してみましょう。