【二等辺三角形の見抜き方#3】平行線と角の二等分線がそろうと何が起きる？

平行線があれば錯角や同位角が等しいことは理解していると思いますが、そこから二等辺三角形を発見する発想につなげたいところです。特に、問題1や2のように平行線と角の二等分線が組み合わさった場合です。このような場合、二等辺三角形を疑いましょう。

問題1：平行線への角の二等分線は二等辺三角形

典型的な問題ですが、初見では意外と気づきにくい良問です。ここでしっかりイメージをつかんでおくと、後の応用問題でも発想が浮かびやすくなります。

イメージ

解

$\mathrm{DE}/\!/\mathrm{BP}$ より、対応する角が等しくなります。

$\mathrm{o}=\angle\mathrm{DCB}=\angle\mathrm{CDF}\,(=\angle\mathrm{DCF})$ より、$\triangle\mathrm{FCD}$ は二等辺三角形。

$\mathrm{x}=\angle\mathrm{ECP}=\angle\mathrm{CEF}\,(=\angle\mathrm{ECF})$ より、$\triangle\mathrm{FCE}$ は二等辺三角形。

よって、

$$\mathrm{CF}=\mathrm{DF}=\mathrm{EF}=3$$

したがって、

$$\mathrm{DE}=6$$

問題2：またもや、平行線への角の二等分線

先ほどの典型例よりも少し実践的な問題です。典型パターンをしっかり理解しておくことで、こうした応用的な場面でも発想が浮かびやすくなります。

イメージ

解

$\triangle\mathrm{AEF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ABC}$ より相似比は $1:3$ なので、$\mathrm{EF}=2$。

次に、$\mathrm{ED}/\!/\mathrm{BP}$ より、対応する角が等しくなります。

$\mathrm{o}=\angle\mathrm{DBP}=\angle\mathrm{EDB}\,(=\angle\mathrm{EBD})$ より、$\triangle\mathrm{EBD}$ は二等辺三角形。
したがって、$\mathrm{ED}=\mathrm{EB}=8$ となり、$\mathrm{FD}=6$ です。

同様に、$\mathrm{x}=\angle\mathrm{DCP}=\angle\mathrm{CDF}\,(=\angle\mathrm{DCF})$ より、$\triangle\mathrm{DCF}$ は二等辺三角形。
したがって、$\mathrm{FC}=\mathrm{FD}=6$ です。

再び、$\triangle\mathrm{AEF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ABC}$ の相似より、

$8:4=6:\mathrm{AF}$
$\therefore\; \mathrm{AF}=3$

まとめ

今回の2つの問題では、平行線と角の二等分線が組み合わさった場合に二等辺三角形を発想する典型的な流れを確認しました。

このパターンを知っておくと、図形の読み取りが一段と楽になり、入試レベルの問題でも発想が浮かびやすくなります。

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