【平行を見たら錯角】そこから二等辺三角形を発見しよう！ 角の二等分線がミソ！！

　平行があれば錯覚や同位角が等しいことは理解していると思いますが、そこから二等辺三角形を発見する発想に結び付けたいです。そのようになるケースと言えば、問題1や2に見られるように角の二等分線と絡められた場合です。平行線に向かって角の二等分線が引かれていたら二等辺三角形を疑いましょう。

問題1：平行線への角の二等分線は二等辺三角形

　非常に典型的な問題で練習します。典型的ですが初見の人にはなかなか難しい、いい問題です。

イメージ

解

$\mathrm{DE}/\!/\mathrm{BP}$ より、

$\angle\mathrm{DCF}=\angle\mathrm{CDF}$
$\angle\mathrm{ECF}=\angle\mathrm{CEF}$

よって、

$\triangle\mathrm{FCD}$
$\triangle\mathrm{FCE}$

は二等辺三角形。よって、

$$\mathrm{CF}=\mathrm{DF}=\mathrm{EF}=3$$

$$\therefore\; \mathrm{DE}=6$$

問題2：またもや、平行線への角の二等分線

　先ほどの典型例よりも少し実践的です。典型例でしっかりとイメージをつかむことでより難しい問題に出会っても発想が浮かびますので、典型例は大事にしてください。

イメージ

解

$\triangle\mathrm{AEF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ABC}$ で相似比は 1:3 より、

$\mathrm{EF}=2$

$\mathrm{ED}/\! /\mathrm{BP}$ より、

$\angle\mathrm{EBD}=\angle\mathrm{EDB}$
$\angle\mathrm{FCD}=\angle\mathrm{FDC}$

つまり、$\triangle\mathrm{EBD}$ は二等辺三角形なので、$\mathrm{ED}=\mathrm{EB}=8$。よって、

$\mathrm{FD}=6$

同様に、$\triangle\mathrm{FCD}$ は二等辺三角形なので、

$\mathrm{FC}=\mathrm{FD}=6$

再び、$\triangle\mathrm{AEF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ABC}$ より、

$8:4=6:\mathrm{AF}$
$\therefore\; \mathrm{AF}=3$

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