【角の二等分線#1】まず線分比。そして相似と二等辺三角形に気づく力！

角の二等分線を見たとき、まず最初に持ち出したい発想は線分比です。これは角の二等分線の “本質” ともいえる考え方です。

そしてもう一つ、この記事で伝えたいのは、相似や二等辺三角形が隠れている可能性にも目を向けることです。こちらは本質というより、発想の引き出しとして持っておくと一気に強くなるポイントです。

角の二等分線：線分比と二等辺三角形

角の二等分線があるとき、まずは線分比。そして、もう一つ角が等しければ二等辺三角形。この２つの発想が自然に出てくるかがポイントです。そしてこの問題の場合はその前に相似に気づく必要があります。実はこの問題は、単純に見えて意外とポイントが多い問題です。

イメージ

これらのポイントを、まずはアニメーションで一気に確認します。

そしてこれらを一つずつ見ていきます。

(1) 相似

$\triangle\mathrm{BAP}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCA}$ より、

\begin{eqnarray} \mathrm{BA}:\mathrm{BC} &=& \mathrm{BP}:\mathrm{BA}\\ 6:\mathrm{BC} &=& 4:6\\ \therefore\; \mathrm{BC} &=& 9 \end{eqnarray}

(2) 二等辺三角形

\begin{eqnarray} \mathrm{PC} &=& \mathrm{BC}-\mathrm{BP}\\ &=& 5 \end{eqnarray}

ここで、$\angle\mathrm{ACP}=\angle\mathrm{CAP}$ より、

$$\mathrm{AP}=\mathrm{PC}=5$$

(3) 線分比

さらに、$\mathrm{AP}$ は角 $\mathrm{A}$ の二等分線なので、

\begin{eqnarray} \mathrm{AB}:\mathrm{AC} &=& \mathrm{BP}:\mathrm{PC}\\ 6:\mathrm{AC} &=& 4:5\\ \therefore\;\mathrm{AC} &=& \frac{15}{2} \end{eqnarray}

まとめ

この回では、角の二等分線問題を読み解くカギとなる「相似」と「二等辺三角形」に気づく発想を身につけました。ここで発想を得たら#2（応用編）や#3（高校入試編）に挑戦してください。