【愛知県26年度】難問4問を “頻出ワザ” でやさしく整理する

愛知県26年度の入試問題から、発想の核をつかむのに最適な4問を取り上げます。どれも一見むずかしめですが、使っているワザはすべて基本的なものばかりです。難問を通して基本に立ち返ることで、発想の引き出しがより強固になります。

この記事では、

・面積半分問題
・角の二等分線＋錯角 → 二等辺三角形
・動点と体積の変化
・立体の切断と平面化

といった入試で何度も登場する “頻出ワザ” を、4問を通してやさしく整理します。

ここでは本質をシンプルに理解するため、前半の簡単な問題は省き、また少し表現を変えている部分もあります。

問題1：面積半分問題

原点 $\mathrm{O}$ を通り、四角形 $\mathrm{BCGA}$ の面積を2等分する直線の式は？

この問題自体には放物線は関係ありませんが、前の問題で放物線の条件を使って $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の座標を求めています。

四角形 $\mathrm{BCOA}$ の面積を求める

分割

四角形を三角形に分けると、面積が求めやすくなります。

等積変形

等積変形を使うと、さらに手早く求められます。

等積変形と面積半分問題は下記の記事で復習できます。

【等積変形と面積半分問題：基礎編】平行がミソ！入試図形の解き方をわかりやすく徹底攻略！！

等積変形と面積半分問題の基礎を、図とアニメーションで直感的に理解。平行を使った等積の考え方から三角形の面積半分の基本までをわかりやすく解説。入試図形の土台が一気に固まる基礎編。

面積は12

いずれの方法でも、四角形 $\mathrm{OABC}$ の面積は $12$ と求まります。

面積=6となる点 $\mathrm{P}$

$\mathrm{OC}=4$ なので、$\triangle\mathrm{OCP}=6$ となるには高さが $3$ であればよい。よって、

$$\mathrm{P}(3,7)$$

求める直線の式は

$$y=\frac73x$$

まとめ

面積半分問題は、二次関数と絡めて頻出です。面積を扱う問題全般でよく使う発想なので、この機に復習しておきましょう。

【二次関数の面積｜パターン5選】高校入試の頻出・難問をアニメーションで完全攻略！

二次関数の面積問題を“パターン0〜5”で一気に整理。等積変形、高さの比例、非頂点からの二等分、台形の分割など、入試で必須の考え方をアニメーションで直感的に理解できます。

下記の記事も二次関数ですが、等積変形を用いて三角形の面積を楽に求めています。

二次関数×面積の実戦編｜入試難問3選を等積変形で完全攻略

二次関数×面積の実戦編。入試良問3選を、図と等積変形を使って直感的に理解します。「縦の差×横の差×1/2」や等積変形など、頻出の発想の型を実戦レベルで身につけたい人に最適です。

問題2：角の二等分線＋錯角 → 二等辺三角形

角の二等分線と平行線の錯角を組み合わせると二等辺三角形が自然に表れます。図形問題で非常に頻出の流れです。

図は、

四角形 $\mathrm{ABCD}$ は一辺 $12\mathrm{cm}$ の正方形。
$\mathrm{FC}=3\mathrm{cm}$
$\mathrm{AF}$ は $\angle\mathrm{EAD}$ の二等分線。

$\mathrm{BE}$ の長さを求めよ。

オリジナルは「四角形 $\mathrm{AECF}$ の面積」ですが、$\mathrm{BE}$ が分かればすぐに求まるため、ここでは $\mathrm{BE}$ を求める問題として扱います。

一気通貫アニメーション

錯角からの二等辺三角形

錯角

$\mathrm{AF}$ と $\mathrm{BC}$ を延長して交点を $\mathrm{G}$ とすると、錯角より

$$\angle\mathrm{FAD}=\angle\mathrm{FGC}=〇$$

$\triangle\mathrm{FAD}$$\unicode[sans-serif]{x223D}$$\triangle\mathrm{FGC}$

より、

$$\mathrm{CG}=4$$

二等辺三角形

次に

$$\angle\mathrm{GAE}=\angle\mathrm{AGE}=〇$$

より、

$\triangle\mathrm{EAG}$ は二等辺三角形

$\mathrm{BE}=x$ と置くと、各辺は次のように表せます。

三平方の定理

$\triangle\mathrm{ABE}$ に三平方の定理を使うと、

$$12^2+x^2=(16-x)^2$$

これを解いて

$$x=\frac72$$

まとめ

平行→錯角→角の二等分線からの二等辺三角形 は頻出の発想です。下記記事でその発想を定着させてください。

【平行を見たら錯角】そこから二等辺三角形を発見しよう！角の二等分線がミソ！！

【平面図形：二等辺三角形#3】平行線への角の二等分線を見たら二等辺三角形を疑え --> 　平行があれば錯覚や同位角が等しいことは理解していると思いますが、そこから二等辺三角形を発見する発想に結び付けたいです。そのようになるケースと言えば、問...

角の二等分線からの二等辺三角形 は、下記の記事でも扱っています。

【角の二等分線#1】まず線分比。そして相似と二等辺三角形に気づく力！

角の二等分線を見たらまず線分比。そして相似と二等辺三角形に気づく発想を身につける解説。図形の読み解き方が一気にわかる入門回です。

問題3：動点と体積の変化

点が複数動くと複雑に見えますが、高さ一定 や 底面積一定 といった固定部に注目すると整理できます。体積の変化はグラフ化すると一気に見通しがよくなります。

立体 $\mathrm{ABCDEFGH}$ は1辺の長さが $6\mathrm{cm}$ の立方体で、$\mathrm{I}$ は $\mathrm{BF}$ の中点。

点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ は頂点 $\mathrm{B}$ を同時に出発 $(t=0)$
点 $\mathrm{P}$ は毎秒 $1$ 秒の速さで $\mathrm{BA}$, $\mathrm{AD}$, $\mathrm{DC}$ 上を頂点 $\mathrm{C}$ まで進み、そこで止まる。
点 $\mathrm{Q}$ は毎秒 $1$ 秒の速さで $\mathrm{BC}$ 上を頂点 $\mathrm{C}$ まで進み、そこで止まる。
点 $\mathrm{R}$ は $t=2$ 秒に点 $\mathrm{I}$ を頂点 $\mathrm{F}$ に向かって出発し、毎秒 $1$ 秒の速さで $\mathrm{BF}$ 上を頂点 $\mathrm{F}$ まで進み、その後は毎秒 $1$ 秒の速さで辺 $\mathrm{BF}$ 上を繰り返し往復する。

$0\le t\le 18$ の間で $\mathrm{B,F,P,Q}$ を頂点とする立体の体積 $V_1$ と、$\mathrm{R,E,F,G,H}$ を頂点とする立体の体積 $V_2$ が等しくなる時は何回あるか？

一気通貫アニメーション

図形の動きと、体積のプロットを確認します。

グラフの交点の個数から、

$V_1=V_2$ となるのは 4回

と分かります。

$V_1$ を求める

青の立体 $V_1$ は、高さが $\mathrm{BF}=6$ が一定なので、

$$V_1 = \frac13\cdot\triangle\mathrm{BPQ}\cdot 6=2\cdot\triangle\mathrm{BPQ}$$

$V_2$ を求める

赤の立体 $V_2$ は、底面積が $\mathrm{EFGH}=36$ が一定なので、

$$V_2 = \frac13\cdot 36\cdot\mathrm{RF}=12\cdot\mathrm{RF}$$

グラフで比較

$V_1$, $V_2$ それぞれのグラフを書くと：

よって、

$V_1=V_2$ となるのは 4回

まとめ

点がたくさん動くので体積を求めるのが大変に思えましたが、固定の部分もあるため意外と簡単な形になりました。あとは 計算ミスをしないように注意する ことが大事ですが、具体的ないくつかの点でお試し計算を行うのがコツです。実際この問題の(1)も、$4$ 秒後の青の立体の体積を具体的に求めさせるものでした。

時間変動する立体の体積を求める例としては下記記事の問題3 があります。

【空間図形：立体の切断】切断が「見える」ようになる3問題｜高さ・体積・切り口の解き方を完全整理

空間図形の切断が“見える”ようになる3つの問題を解説。高さ・体積・切り口の捉え方をアニメーションと図で体系的に理解できます。

問題4：立体の切断と平面化

立体の切断はイメージが難しいですが、真横から見る・構成面で考える と平面図形として扱えるようになります。

図は、

正方形 $\mathrm{ABCD}$ を底面とする1辺の長さが $6\mathrm{cm}$ の正四角すい。
$\mathrm{E}$ は $\mathrm{CA}$ と $\mathrm{DB}$ の交点。
$\mathrm{F}$ は線分 $\mathrm{OE}$ の中点。

台形 $\mathrm{GHAB}$ の面積を求めよ。

一気通貫アニメーション

まずは切断面のイメージをアニメーションで確認しましょう。

切断面は確かに台形です。

真横から見る

真横にします。

点 $\mathrm{G}$ は $\mathrm{OC}$ を3等分

$\mathrm{F}$ を通る条件から、$\mathrm{G}$ は $\mathrm{OC}$ を3等分します。これは下記のこの部分と同じです。

【空間図形：立体の切断】切断が「見える」ようになる3問題｜高さ・体積・切り口の解き方を完全整理

空間図形の切断が“見える”ようになる3つの問題を解説。高さ・体積・切り口の捉え方をアニメーションと図で体系的に理解できます。

3等分なので $\mathrm{GH}=2$

今度は $\mathrm{GH}$ 側の正三角形を眺めると、$\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$ は辺 $\mathrm{OC}$, $\mathrm{OD}$ を3等分しているので、

$$\mathrm{GH}=2$$

3等分から他にも分かってくる

今度は $\mathrm{OBC}$ の正三角形を眺めると、$\mathrm{G}$ は $\mathrm{OC}$ を3等分しているから、

$$\mathrm{CG}=4$$

すると三平方の定理より、

\[\mathrm{GJ}^2=4^2-2^2=12\\\therefore\mathrm{GJ}=\sqrt{12}\]

するとさらに三平方の定理より、

\[\mathrm{BG}^2=4^2+\sqrt{12}^2=28\\\therefore\mathrm{BG}=\sqrt{28}\]

台形の形が定まる

$\mathrm{GH}=2$, $\mathrm{BG}=\sqrt{28}$ から台形の形は下記のようになります。

$\triangle\mathrm{GKB}$ に三平方の定理を適用して、

\[\mathrm{GH}^2=\sqrt{28}^2-2^2=24\\\therefore\mathrm{GH}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\]

面積が求まる

よって求める面積 $S$ は、

$$S=(2+6)\times2\sqrt{6}\div 2=8\sqrt{6}$$

まとめ

立体は 平面に落とし込む と理解しやすくなります。切断面を考える、真横から見る、構成面で考える、などです。立体の切断は下記の記事で典型的な図形を扱っているので、それで慣れてください。

【空間図形：立体の切断】切断が「見える」ようになる3問題｜高さ・体積・切り口の解き方を完全整理

空間図形の切断が“見える”ようになる3つの問題を解説。高さ・体積・切り口の捉え方をアニメーションと図で体系的に理解できます。

全体まとめ

愛知県26年度の難しめの4問を扱いましたが、どの問題も本質は基本的な発想にあります。

面積は「三角形分割」や「等積変形」でシンプルに
角の二等分線は「錯角 → 二等辺三角形」に注意
動点は「グラフ化」で見通しが立つ
立体は「平面に落とし込む」と急にやさしくなる

難しい問題を通して基本に立ち返る練習は、発想の引き出しを豊かにし、入試本番での対応力を高めます。
やりっぱなしにせず、今回触れたワザを基礎問題でもう一度確認して、確かな理解につなげてください。