この記事は「等積変形と面積半分問題」シリーズの基礎編です。応用編・実践編と合わせて読むと、理解が一気に深まります。リンクは最後に。
高校入試数学で頻出する「等積変形」と「面積半分問題」。図形の面積を扱う問題は、考え方のパターンを理解すれば一気に得点源になります。本記事では、等積変形の基本原理から面積半分問題の解き方まで、図とアニメーションを使ってわかりやすく解説します。
等積変形とは
平行線が見やすい基本形
等積変形とは、面積を変えずに図形を変形させることです。高校入試では、特に三角形の面積を保ったまま頂点を動かす変形として登場します。
すなわち、底辺 $\mathrm{AB}$ に平行な線上で点 $\mathrm{Q}$ を動かす限り、三角形の高さが変わらないため面積は一定です。
斜めでも平行線
平行線は横だけではありません。斜めでも平行なら高さは同じなので、等積変形が成立します。
青と赤の三角形は等しく、
$$\triangle\mathrm{ACD}=\triangle\mathrm{ACD^\prime}$$
面積半分問題とは
面積半分問題とは、図形の面積をちょうど半分に分ける点や線を求める問題です。高校入試では、まず三角形の面積半分が基本になります。
すなわち、底辺の中点を取ると三角形の面積は半分になります。
この考え方を応用すると、四角形の面積半分や、半分以外の比で分ける問題にも発展します。
次の章では、等積変形と面積半分問題を組み合わせた典型問題を扱います。
等積変形と面積半分問題の組み合わせ
問題
点 $\mathrm{A}$ を通り、四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を半分にする点 $\mathrm{E}$ を作図せよ。
一気通貫アニメーション
解説
斜めでも平行線で見たように、等積変形を使って四角形を三角形に変形します。
点 $\mathrm{D^\prime}$ を取ることで、
四角形 $\mathrm{ABCD}$ の面積 ＝ $\triangle\mathrm{ABD^\prime}$ の面積
あとは、この三角形の面積を半分にする点 $\mathrm{E}$ を求めればよいだけです。
したがって、点 $\mathrm{E}$ が求める点です。
まとめ
等積変形と面積半分問題の基礎を整理しました。
等積変形は、三角形の頂点を底辺と平行な線上で動かすことで実現します。
面積半分は、三角形の頂点から底辺の中点に向かうだけで実現します。
ここまでが基礎編です。
次の記事↓では応用問題を扱います。応用編：
さらに実践的な問題の解き方は、こちらの記事でまとめています。実践編：
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