【ねじれ台形型相似】補助線だけが解き方じゃない！反転しても“線形に増える”だけ

一瞬、蝶々型と思ってしまいますが、これはむしろ台形型です。分割点(A,Eの間の黒丸)が蝶々の交点ではないことに注意してください。台形型がねじられていることに気づくでしょうか。それに気づけば、台形型とほぼ同じ考え方が使えます。

ねじれていない台形型と蝶々型はこちら↓に記載しています。

問題設定：ねじれ台形型

？の長さを求めよ。

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{C}$ へ補助線を引き、$\mathrm{EF}$ の延長線との交点を $\mathrm{G}$ と置きます。

$\triangle\mathrm{CAD}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{CGF}$ で相似比が $3:1$、$\mathrm{AD}=3$ なので、

\[ \mathrm{FG}=1 \]

同様に $\triangle\mathrm{ABC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{AEG}$ で相似比が $3:2$、$\mathrm{BC}=9$ なので、

$$\mathrm{EG}=6$$

$$\therefore\mathrm{EF}=5$$

$\mathrm{DA}$ の長さは $3$ ですが、これは通常の台形の場合に対してねじられて反転しています。したがって、$-3$ の重みを与えたと考えます。下記はねじられているイメージを持つためのアニメーションです。

$\mathrm{EF}$ の長さは、$\mathrm{AD}$ の $-3$ から徐々に成長して $\mathrm{BC}$ に行く途中にある、というイメージです。

このイメージを持てれば、簡単な数字の問題なら都度比例式を立てなくても「目の子」で解けるようになります。少なくともおおよその感覚はつかめるので、変な計算ミスはしなくなります。

これまでの解答は次のように公式化できます。この公式は覚える必要はありませんが、解答1のように補助線を引けば必ず解けることを理解しておくと安心です。また、加重平均が出てきた際にこの例が頭に浮かぶと、点と点の知識が線でつながり理解が深まります。

$$\mathrm{EF}=\displaystyle\frac{-na+mb}{m+n}$$

この式は加重平均の形になっています。これは、通常の台形の場合（↓記事）に対して $-a$ の重みを与えたと考えると理解しやすいです。

台形型相似について見てきました。今回はねじれている場合ですが、ねじれていない場合と同じように考えられることが分かりました。それも、同じ変化の割合という単純な増え方です。この性質を理解すれば、辺に補助線を考えることなく素直に辺の長さが求められるようになります。

ここまでで勘所がつかめた方は入試問題にチャレンジしてみてください↓。