このページでは、コインを2回投げたときに「表裏が1回ずつ出る確率＝1/2」を、樹形図を使わずに直感で理解することを目標にします。確率は計算だけでなく、感覚がとても大事です。
授業で見かけた「1/3」問題
先日たまたま中学1年生の授業を観る機会がありました。そのとき黒板には（敢えて惑わすように）、
表表、表裏、裏裏
と書いてあり、それぞれの確率を当てさせるものでした。「表裏」と書いてあるのが惑わす書き方ではあるのですが、これは口頭説明を加え「表裏1回ずつ」という意味で書いています。
先生は生徒に考える時間を与え、生徒は周りの人と相談を始めます。そして回答タイム。「表表が1/3だと思う人ー」「1/4だと思う人ー」。少なからず1/3の人気がありました。
中には「表裏の方が少し出る確率が高いと思う」と鋭い意見かと思いきや、「だから50.1%！！」。
答えはもちろん、「表表」「裏裏」が1/4で、「表裏(1回ずつ)」が1/2です。ここではこれを樹形図を用いずに直感的に理解していきます。
直感的に理解：実際に賭けをしている気持ちになる
例えば、次のようなシチュエーションを考えます。
コイントスの賭けをする。相手が今からコインを2回投げる。
① 表表
② 表裏一回ずつ
③ 裏裏
の選択肢があり、当たれば1000円もらえるという。あなたはどれに賭けるか？
タダでこんなおいしい賭けができる訳が無い、という突っ込みは無しにして、あなたなら①②③のどれに賭けますか？
①に賭ける（表表）
①に賭けた場合、相手が1回目のコインを投げるとき、あなたは
表出ろー
と祈ることになります。ここで裏が出たら即終了だからです。
運よく表が出たとします。すると2回目もまた、
表出ろー
と祈ることになります。
表が出る確率は 1/2 なので、1/2 のドキドキを2回味わうことになります。式では
$$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$$
と計算します。
②に賭ける（表裏1回ずつ）
このとき、1回目のコインを投げる際、あなたはどちらを祈るでしょうか？表ですか？裏ですか？
どちらでもいいやー
という気分になりませんか？ 1回目にどちらが出てもよく、2回目でそれとは異なる方が出ればよいだけだからです。
つまり、ドキドキするのは2回目だけ。1回目はドキドキしません＝どんな目でもOK＝確率1です。
式では
$$1\times\frac{1}{2}$$
と計算します。
③に賭ける（裏裏）
これは①と同じなので省略します。
つまり
自分事として考えてみれば、ドキドキする回数に差があることに気づきます。②が最もドキドキしない＝最も当たりやすい＝お得です。これが直感的な理解です。
樹形図なら？
樹形図を書くなら次のようになります。
全部で4つの出方があり、表と裏が1回ずつは2回あるので、その確率は
$$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$
です。
表表と裏裏はそれぞれ1回ずつなので、その確率は
$$\frac{1}{4}$$
です。
まとめ
「表裏」が1回ずつ出る確率が $\displaystyle\frac{1}{2}$ であることを直感的に理解しました。数学は公式を覚えて計算するだけではありません。直感で理解することができれば、答えに対する納得感や違和感が生まれ、応用力も高まります。
もちろん確率の問題では樹形図を書くことが基本ですが、その根底にこのような感覚があると、樹形図で出てきた答えに自信が持てます。
コメント