【円周角の定理#1】なぜ中心角の半分になるのか｜アニメーションでつかむ証明のイメージ

円周角の定理の証明を、まずはイメージでつかみます。細かい場合分けよりも、なぜ円周角が中心角の半分になるのかという本質を直感的に理解することを目的にします。

円周角の定理とは

円周角の定理とは、中心角($2x$)と円周角($x$)の関係を述べたもので、次のようになります。

証明

アニメーションでイメージ

証明のカギは、補助線 $\mathrm{OC}$ を引くことで、二つの二等辺三角形が現れるという点です。

二等辺三角形に着目

青の三角形も赤の三角形も、$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{OB}$ から二等辺三角形です。

青の三角形に着目すると、

$$\angle \mathrm{OCA}=\angle \mathrm{OAC}=”\mathrm{o}”$$

となり、その外角は $”\mathrm{oo}”$ です。

赤の三角形も同様に、対応する角を “x” と書きます。アニメーションでは “o” と “x” の大きさは変化していますが、対応関係を示すため同じ記号を使っています。

すると、

$$\angle \mathrm{ACB}=”\mathrm{ox}”$$

であるのに対し、中心角は

$$\angle \mathrm{AOB}=”\mathrm{ooxx}”$$

となります。

中心角が円周角の2倍になる理由が、この対応関係から一目で分かります。

点 $\mathrm{C}$ は円上を移動しても角度は変わらない

点 $\mathrm{C}$ が円周上を動いても、$\mathrm{A}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{B}$ は動かないので、中心角 $\angle \mathrm{AOB}$ は変わりません。

“o” と “x” の大きさは変わっても、“o” と “x” の関係は変わらないため、円周角は常に中心角の半分です。

本当はこのようなケースも考える必要がある

点 $\mathrm{C}$ がさらに移動した場合も厳密には考える必要がありますが、ここではイメージ理解を目的とするため省略します。

特別な場合：直角三角形

直径の円周角と見る

直径の中心角は $180^\circ$ なので、その円周角は 必ず $90^\circ$ です。つまり、直角三角形ができます。

外接円の直径と見る

逆に、三角形の外接円を考えることで、直角を見抜く問題もあります。

ミソは、三角形 $\mathrm{ABD}$ が直角三角形であり、外接円の直径が見えるという点です。解答は下記の記事にあります。

まとめ

円周角の定理の本質は、補助線 $\mathrm{OC}$ によって 二つの二等辺三角形が現れることです。そこから外角の定理を使えば、中心角と円周角の関係が自然に見えてきます。

ただし、入試で問われるのは証明そのものではなく、弧長を使った角度計算が中心です。次の記事で典型問題を整理しました。