【二次関数のグラフ】なぜ1つの点で決まる？aが形を変える仕組みをイメージで理解

二次関数の式は $y=ax^2$ の形です。$x$ と $y$ は座標なので、グラフの形を決めるのは $a$ の1つだけです。つまり、点を1つ通るだけでグラフが決まるということです。

この記事では、次の問題を解けるようになることを目標に、「$a$ が変わるとグラフがどう変わるのか」をイメージでつかんでいきます。

二次関数の基本をおさえる

中学で扱う二次関数は、

$$y=ax^2$$

という形です。高校では $y=ax^2+bx+c$ のような一般形を学びますが、中学では $y=ax^2$ とうように、$b$ や $c$ がない形だけを扱います。

ここでは高校範囲の詳しい話はせず、中3で必要な「$a$ がグラフの形を決める」という部分に集中します。

冒頭の問題を解く準備

$a$ を変えるとグラフはどう動く？

まずは、$a$ の値を変えたときのグラフの動きを見てみましょう。

動画を見ると、$a$ の値が変わるとグラフの開き具合が変化していることが分かります。

• $a>0$ のときは下に凸
• $a<0$ のときは上に凸

同じ $x$ を入れたとき、$a$ が大きいほど $y$ の値も大きくなり、グラフは細くなります。逆に $a$ が小さいと広がります。

そして動画の途中で、グラフが点 $(4,8)$ を探すように動いています。$(4,8)$ を通る瞬間の $a$ が、求めたい値です。

静止画でも確認してみましょう。

ただし、$y$ 軸上（原点以外）の点だけは通れません。$x=0$ を入れると $y=a\cdot0^2=0$ なので、$a$ をどう変えても $y=0$ 以外にはならないからです。

解答

$$y=ax^2$$
が点 $(4,8)$ を通るから、

$$8=a\cdot4^2$$

これを解いて、

$$a=\frac{8}{16}=\frac12$$

まとめ

二次関数は中学数学の中でも難しい単元ですが、「$a$ がグラフの形を決める」という本質をつかめば、問題の見え方が大きく変わります。

このイメージがつかめた人は、次の問題にも挑戦してみてください。