二等辺三角形シリーズでは、「どんなときに二等辺三角形を疑うべきか」という切り口で整理してきました。#1では直角三角形と補助線、#2では直角三角形が2つ並ぶ典型パターン、#3では平行線に向かう角の二等分線を扱いました。
そしてこの #4 では、外角に注目することで二等辺三角形を発見する発想を身につけます。外角の定理は中1内容ですが、この発想に至れるかは、入試問題レベルです。
#1-#3はまとめのところにリンクを貼っておきます。
問題1：外角に注目して二等辺三角形を見抜く
？の長さを求めよ。
この図形を見たとき、「$\triangle\mathrm{ABE}$ が二等辺っぽい」と感じた人は良いセンスです。もちろん勘だけで突き進むのは危険ですが、違和感や直感を起点に考えるのはとても大事です。
二等辺三角形を示すには、$\angle\mathrm{BAE}=\angle\mathrm{BEA}$ が言えればよいです。そこで今回のテーマ、外角の定理が効いてきます。
こうした“気づき”を得るためにも、問題文の図は丁寧に書くことが大切です。
解
イメージ
解
まず、$\triangle\mathrm{BDA}$ と $\triangle\mathrm{BAC}$ に注目します。$\angle\mathrm{B}$ 共通、かつ $\angle\mathrm{BDA}=\angle\mathrm{BAC}$ より、
$$\triangle\mathrm{BDA}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BAC}$$
よって、
$$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{BCA}\;(=\mathrm{x})$$
次に、外角の定理より
$$\angle\mathrm{BEA} = \angle\mathrm{EAC}+\angle\mathrm{ACE} = \mathrm{ox}$$
よって、
$$(\mathrm{xo}=)\;\angle\mathrm{BAE}=\angle\mathrm{BEA}$$
つまり、$\triangle\mathrm{BAE}$ は二等辺三角形
ゆえに、
$$\mathrm{BA}=\mathrm{BE}=10$$
問題2：問題1と同じ構造を別の角度から
？の長さを求めよ。
この図形は問題1と全く同じ構造です。既知の場所と求める場所を入れ替えただけなので、発想はそのまま使えます。
解
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解
$\angle\mathrm{B}$ 共通、かつ $\angle\mathrm{BDA}=\angle\mathrm{BAC}$ より、$\triangle\mathrm{BDA}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BAC}$。
$\angle\mathrm{C}$ 共通、かつ $\angle\mathrm{CDA}=\angle\mathrm{CAB}$ より、$\triangle\mathrm{CDA}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{CAB}$。
よって、
$$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{BCA}\;(=\mathrm{x})$$ $$\angle\mathrm{CAD}=\angle\mathrm{CBA}\;(=\mathrm{oo})$$
外角の定理より、
\begin{eqnarray} \angle\mathrm{AFB} &=& \angle\mathrm{FBC}+\angle\mathrm{BCF}=\mathrm{o}+\mathrm{x}\\ \angle\mathrm{FGA} &=& \angle\mathrm{GAB}+\angle\mathrm{ABG}=\mathrm{x}+\mathrm{o}
\end{eqnarray}
よって、
$\angle\mathrm{AFB}(\angle\mathrm{AFG})=\angle\mathrm{AGF}$ より、
$\triangle\mathrm{AFG}$ は二等辺三角形
ゆえに、
$$\mathrm{AG}=\mathrm{AF}=2\sqrt{5}$$
問題3：問題1と2を合体させた応用
？の長さを求めよ。
この図形も問題1, 2と同じ構造です。2つの典型パターンをつなげて解く形になるため難易度が上がりますが、分割してイメージできればただの組み合わせだと気づけます。
ここでは問題1, 2の結果を利用して見通しよく解いていきます。
解
問題1より、
$$\mathrm{AB}=10$$
$\triangle\mathrm{ABC}$ に三平方の定理を適用して、
\begin{eqnarray} \mathrm{AC}^2 &=& \mathrm{BC}^2-\mathrm{AB}^2=15^2-10^2\\ &=& 5^2(3^2-2^2)=5^2\times 5 \end{eqnarray}
よって、$\mathrm{AC}=5\sqrt{5}$
題意より、$\angle\mathrm{ABF}=\angle\mathrm{CBF}$。したがって、
\begin{eqnarray} \mathrm{AF}:\mathrm{FC} &=& \mathrm{BA}:\mathrm{BC}=10:15=2:3 \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} \mathrm{AF} &=& 2\sqrt{5}\\ \mathrm{FC} &=& 3\sqrt{5} \end{eqnarray}
問題2より、$\triangle\mathrm{AGF}$ は二等辺三角形であるから、
$$\mathrm{AG}=2\sqrt{5}$$
ここで、
$$\triangle\mathrm{DAC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ABC}$$ $$(\because \angle\mathrm{DAC}=\angle\mathrm{ABC},\; \angle\mathrm{ADC}=\angle\mathrm{BAC})$$
よって、
\begin{eqnarray} \mathrm{DA}:\mathrm{AB} &=& \mathrm{AC}:\mathrm{BC}\\ \mathrm{DA}:10 &=& 5\sqrt{5}:15\\ \therefore\; \mathrm{DA} &=& \frac{10\times 5\sqrt{5}}{15} = \frac{10\sqrt{5}}{3} \end{eqnarray}
したがって、
\begin{eqnarray} \mathrm{DG} &=& \mathrm{DA}-\mathrm{GA}\\ &=& \frac{10\sqrt{5}}{3}-2\sqrt{5}\\ &=& \frac{4\sqrt{5}}{3} \end{eqnarray}
まとめ
二等辺三角形の見抜き方シリーズ（#1〜#4）を通して、「どんな条件がそろうと二等辺三角形が現れるのか」という典型パターンを整理してきました。
今回の #4 では、外角に注目することで二等辺三角形を発見する発想を扱いました。外角の定理はシンプルですが、これを利用する発想は入試レベルです。
また、角の二等分線から二等辺三角形を発想するシリーズも別にまとめていますので、合わせて確認すると理解が一段と深まります。
二等辺三角形の見抜き方シリーズ
これらを通じて発想の引き出しを強固にしましょう。
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