角の二等分線を見たとき、まず最初に持ち出したい発想は線分比です。そして、もう一つ角が同じ大きさであれば、二等辺三角形が隠れている可能性があります。
この記事では、実際の高校入試問題（灘19年）を使って、#1 や #2 で養った発想を試します。3つの解法を比較しながら、発想の引き出しを広げていきましょう。
直接ここに来た方は、二等辺三角形の発見を扱ったこちら↓もご覧ください。
問題（19年 灘）
？の長さを求めよ。
図を見ると、$\triangle\mathrm{ABC}$ の角度と $\angle\mathrm{C}$ に「倍半分」の関係があります。倍になっている角を半分にすれば、角の二等分線が現れます。ここから3つのアプローチが可能です。
解1. 線分比の発想（基本）
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解1
まずは角の二等分線を $\mathrm{AD}$ まで伸ばし、点 $\mathrm{E}$ を取ります。
\begin{gather} \triangle\mathrm{BED} \unicode[sans-serif]{x223D} \triangle\mathrm{CAD}\\ (\because\;\angle\mathrm{EDB}=\angle\mathrm{ADC}=90^\circ,\; \angle\mathrm{EBD}=\angle\mathrm{ACD}) \end{gather}
相似比は $1:4$ なので、
$$\mathrm{DE}:\mathrm{EA}=1:3$$
線分 $\mathrm{BE}$ は角 $\mathrm{B}$ の二等分線なので、
\begin{eqnarray} \mathrm{BD}:\mathrm{BA} &=& \mathrm{DE}:\mathrm{DA}\\ &=& 1:3 \end{eqnarray}
あとは三平方の定理で $\mathrm{AD}$、$\mathrm{AC}$ を求めれば、
$$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$$
（三平方の定理の詳細は下記リンク参照）
解2. 二等辺三角形の発想#1（角の二等分線 → 二等辺三角形）
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解2
角 $\mathrm{B}$ の二等分線を $\mathrm{AC}$ まで伸ばし、点 $\mathrm{F}$ を取ると、
$\triangle\mathrm{BFC}$ は二等辺三角形
となるので、底辺 $\mathrm{BC}$ が二等分されて、
$$\mathrm{BH}=\mathrm{HC}=\frac{5}{2}$$
さらに $\mathrm{BD}=1$ より、
$$\mathrm{DH}=\frac{3}{2}$$
$\mathrm{FH} /\!/ \mathrm{AD}$ より、
$$\triangle\mathrm{CFH} \unicode[sans-serif]{x223D} \triangle\mathrm{CAD}$$
よって、
\begin{eqnarray} \mathrm{CF}:\mathrm{FA} &=& \mathrm{CH}:\mathrm{HD}\\ &=& 5:3 \end{eqnarray}
線分 $\mathrm{BF}$ は角 $\mathrm{B}$ の二等分線なので、
\begin{eqnarray} \mathrm{CF}:\mathrm{FA} &=& \mathrm{BC}:\mathrm{BA}\\ 5:3 &=& 5:\mathrm{BA} \end{eqnarray}
よって、
$$\mathrm{BA}=3$$
あとは解1と同様に三平方の定理で $\mathrm{AC}$ を求めれば、
$$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$$
解3. 二等辺三角形の発想#2（外角 → 二等辺三角形）
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「角の二等分線#2」で扱ったように、外角を使うと二等辺三角形が見えてくる場合があります。この問題もそのタイプで、補助線 $\mathrm{AG}$ は最初はなかなか思いつきませんが、外角 → 二等辺三角形の発想を持っていると見えてきます。
直角三角形を折り返す発想や、外角から二等辺三角形を見抜く発想は、こちらの記事でも扱っています。
解
点 $\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に向かい、$\angle\mathrm{AGB}=\angle\mathrm{ABG}$ となるように点 $\mathrm{G}$ を取ると、
$\triangle\mathrm{ABG}$ は二等辺三角形
ここで $\angle\mathrm{AGB} = 2\angle\mathrm{C}$ なので、外角の定理より、
$$\angle\mathrm{ACG}=\angle\mathrm{CAG}$$
よって、
$\triangle\mathrm{CAG}$ も二等辺三角形
よって、
\begin{eqnarray} \mathrm{GA} &=& \mathrm{GC}\\ &=& 3 \end{eqnarray}
$\triangle\mathrm{ABG}$ も二等辺三角形なので、
\begin{eqnarray} \mathrm{AB} &=& \mathrm{AG}\\ &=& 3 \end{eqnarray}
あとは解1と同様に三平方の定理で $\mathrm{AC}$ を求めれば、
$$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$$
まとめ
同じ問題を3つの視点で解きました。
- 解1：線分比（基本）… 角の二等分線の本質
- 解2：二等辺三角形の発見#1… 角の二等分線 → 二等辺三角形の発想
- 解3：二等辺三角形の発見#2… 外角 → 二等辺三角形の発想
別解を大事にすると発想の引き出しが増え、図形の読み解き方に奥行きが生まれます。#1〜#3 を通して、角の二等分線の問題に潜む「二等辺三角形」の見え方が大きく広がったはずです。
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