【二次関数の面積｜実戦編】難関校の良問4選でパターン理解を完成させる

　二次関数の面積問題は、入試で非常に頻出です。前記事では、まずパターン0〜5を使って「二次関数の面積問題はパターンで解ける」ことを確認しました。今回は、その理解がしっかり身についているかどうかを、実際の入試問題で確かめていきます。

　さらに応用力を固めたい人は、こちらの実戦問題集にも挑戦してみてください。

　ここでは、実際の入試問題の中から面積に関わる部分だけを抜粋しています。ただし本番では、面積問題の前に「交点」「$a$ の値」「基本的な面積」などの基礎問題が並びます。まずはそこを確実に取り、その上で差がつく面積問題を取り切る、という戦略で臨みましょう。

問題1：22年 大阪星光学院

前年分の掲載のみのようです。↑の問題はもうないです。
入学案内 – 大阪星光学院中学校・高等学校

ポイント

• 底辺が共通なので：面積が等しい → 高さが等しい（等積変形）

等積変形の基本はこちら：

または、下記のパターン1：

イメージ

解

　$\mathrm{AB}$ の傾きは $\displaystyle\frac12$ なので、$\triangle\mathrm{AOD}$ と $\triangle\mathrm{APD}$ が等しくなる点 $\mathrm{P}$ は、

$y=\displaystyle\frac12 x$ と $y=x^2$ の交点（ただし $\mathrm{O}$ 以外）

です。

両者を連立して解くと、

\[
\begin{cases}
y=x^2\\
y=\displaystyle\frac12 x
\end{cases}
\]

\[
x^2=\displaystyle\frac12 x\\
2x^2-x=0\\
x(2x-1)=0
\]

原点は除くので、$x=\displaystyle\frac12$

---

問題2：23年 西大和学園

sugaku.pdf

ポイント

• 底辺が共通なので：面積比＝高さの比
• 高さの比は $y$ 座標の差 で表せる

下記のパターン2：

イメージ

解

底辺 $\mathrm{AB}$ が共通なので、面積比は高さの比に一致します。

\[
\triangle\mathrm{OAB}:\triangle\mathrm{PAB}=12:7
\\
\Rightarrow\mathrm{CO}:\mathrm{CD}=12:7
\]

よって、$\mathrm{D}\left(0,\displaystyle\frac52\right)$ をとればよい。

点 $\mathrm{P}$ は、

点 $\mathrm{D}\left(0,\displaystyle\frac52\right)$ を通り、傾きが $\mathrm{AB}$ と等しい ($=2$) 直線上

にあるので、

\[
y=2x+\frac52
\]

さらに $y=\displaystyle\frac12 x^2$ 上でもあるため、連立して求める。

\[
\frac12 x^2 = 2x+\frac52
\\
x^2-4x-5=0
\\
(x+1)(x-5)=0
\]

ただし $\mathrm{OA}$ 上なので、$x=-1$。

問題3：23年 成城学園

ポイント

• 三角形 $\mathrm{OAB}$ を 水平線 $y=k$ で二等分する問題
• 水平線なので、上側の三角形の面積を $k$ で表すのが自然

下記のパターン4：

イメージ

解

　$y=1$ と $\mathrm{OA}$ の交点 $\mathrm{Q}$ をとると、$\triangle\mathrm{OQB}$ < $\triangle\mathrm{AQB}$

青の面積　< 赤の面積

より、

\[
1<k<4 \tag{3-1}\label{eq3-1}\]

(半分のラインは赤の部分に食い込むはず)

となります。

赤の部分に食い込んだ状態を考えたとき、

\[
\mathrm{Q}(-k,k),\quad
\mathrm{R}(4-2k,k)
\]

と置けます。($\mathrm{Q}$ は $y=-x$ 上、$\mathrm{R}$ は $y=-\displaystyle\frac12x+2$ 上なので)

したがって、$\triangle\mathrm{AQR}$ の面積は $k$ で表せます。

\[
\triangle\mathrm{AQR}
= \frac12 (4-k)^2
\]

これが $\triangle\mathrm{OAB}=6$ の半分になればよいので、

\[
\frac12 (4-k)^2 = 3
\\
(4-k)^2=6
\\
4-k=\pm\sqrt6
\]

\eqref{eq3-1}より $k=4-\sqrt{6}\;\;(<4)$

よって、求める直線は

問題4：23年 奈良大学附属

ポイント

• 題意を満たす面積比とは、三つの三角形に分けた状態でどうなるのかのパズル

このパズルが解けると全てが分かる。

パズル的要素では、下記のパターン5：

解

　面積比を図にすると、次のようになります。こうすれば、問題文にあるように

赤の部分の面積($\mathrm{OAPB}$) = ③+① = ④

青の部分の面積($\mathrm{ABOC}$) = ①＋① = ②

となり、2倍です。

すなわち、

\[
\triangle\mathrm{OAB}:\triangle\mathrm{PAB}=1:3
\]

となればよいです。
つまり底辺が共通なので、高さの比が $1:3$ になればよい。よって、

点 $\mathrm{P}$ の $y$ 座標は $8$

となる。点 $\mathrm{P}$ は $y=\displaystyle\frac12 x^2$ 上なので、

まとめ

　今回扱った4問はいずれも偏差値60前後〜それ以上の学校で、設問後半に配置される “差がつく典型的な面積問題” です。パターン0〜5の理解がそのまま得点に直結する良い練習台になっています。

　二次関数の面積問題は、入試で差がつく重要分野です。ここで扱った問題はいずれも設問後半に登場する応用問題ですが、前半には「交点」「$a$ の値」「基本面積」などの基礎問題が並びます。まずはそこを確実に取り、後半の面積問題で得点差をつけることが大切です。

　そのためには、まずパターン0〜5を確実に理解することが近道です。復習はこちらから。

さらに実戦力を固めたい人は、こちらの問題にも挑戦してみてください。