【平面図形：相似】入試で出る「ちょうちょ型」応用問題｜帝塚山学院泉ヶ丘

基礎編で蝶々型を見抜けるようになった目で取り組んでみましょう。蝶々型で相似比を出して、その相似比から面積を出していきます。

また、蝶々型がうまく発見できなかった場合でも、座標軸を設定することで強引に解くことができます(別解)。入試では必ずしも美しく解く必要はないので、このような裏ワザ的解き方ができると最後のダメ押しに有利です。

基礎編はこちら↓です。ここで蝶々型を見抜く目を養ってください。

問題1：23年 帝塚山学院泉ヶ丘

イメージ：蝶々型が3回も出てくる

解

(1) $\mathrm{BG}:\mathrm{GF}$ を求めよ。

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{ABG} &\unicode[sans-serif]{x223D}& \triangle\mathrm{EFG}\\ \mathrm{AB}:\mathrm{EF} &=& 3:1 \end{eqnarray}

より、

$$\mathrm{BG}:\mathrm{GF} = 3:1$$

(2) $\triangle\mathrm{GEF}$ の面積を求めよ。

$\mathrm{EF}$ は $\mathrm{CD}$ の $\displaystyle\frac{1}{3}$ なので、底辺を $\mathrm{EF}$ とする $\triangle\mathrm{BEF}$ は平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の $\displaystyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}$ です。

さらに、$\triangle\mathrm{GEF}$ は $\triangle\mathrm{BEF}$ の $\displaystyle\frac{1}{4}$ です。

よって、

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{GEF} &=& \style{transform:matrix(1,0,-0.4,1,0,0)}{\square}{\mathrm{ABCD}}\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{4}\\ &=& 60\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{4}\\ &=& \frac{5}{2} \end{eqnarray}

(3) $\triangle\mathrm{HGI}$ の面積を求めよ。

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{ABH} &\unicode[sans-serif]{x223D}& \triangle\mathrm{CFH}\\ \mathrm{AB}:\mathrm{CF} &=& 3:2 \end{eqnarray}

より、

$$\mathrm{BH}:\mathrm{HF} = 3:2$$

(1)より $\mathrm{BG}:\mathrm{GF} = 3:1$ なので比をそろえると、

$$\mathrm{BH}:\mathrm{HG}:\mathrm{GF} = 12:3:5$$

ここで、

$$\triangle\mathrm{HGI}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{FGE}$$

なので、面積比は $3^2:5^2$ です。

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{HGI} &=& \triangle\mathrm{FEG}\times\frac{3^2}{5^2}\\ &=& \frac{5}{2}\times\frac{9}{25}\\ &=& \frac{9}{10} \end{eqnarray}

別解：強引に解けると強い

求めるべき線分比や面積は、問題の本質部分さえ守っておけば強引にでも出すことができます。この問題の本質部分とは、平行四辺形であること、そして $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ が $\mathrm{CD}$ の三等分点であることです。

より考えやすいよう、平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ を同じ面積の長方形として扱います。面積 $60$ なので、横 $10$、縦 $6$ としてみましょう。

別解解答

直線 $\mathrm{BF}$ の式は

$$y=\frac{4}{10}x\tag{1}\label{p4088eq1}$$

直線 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{AE}$ の式は

\begin{eqnarray} y &=& -\frac{6}{10}x+6\tag{2}\label{p4088eq2}\\ y &=& -\frac{4}{10}x+6\tag{3}\label{p4088eq3} \end{eqnarray}

点 $\mathrm{H}$ は (1)(2) の交点なので、

\begin{eqnarray} \frac{4}{10}x &=& -\frac{6}{10}x+6\\ x &=& 6\\ y &=& \frac{12}{5} \end{eqnarray}

$$\therefore\;\mathrm{H}\left(6,\frac{12}{5}\right)$$

同様にして、

$$\mathrm{I}\left(6,\frac{18}{5}\right),\quad \mathrm{G}\left(\frac{15}{2},3\right)$$

\begin{eqnarray} \mathrm{BG}:\mathrm{GF} &=& \frac{15}{2}:\left(10-\frac{15}{2}\right)\\ &=& \frac{15}{2}:\frac{5}{2}\\ &=& 3:1 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{GEF} &=& \frac{1}{2}\times2\times\left(10-\frac{15}{2}\right)\\ &=& \frac{5}{2} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{HGI} &=& \frac{1}{2}\times\left(\frac{18}{5}-\frac{12}{5}\right)\times\left(\frac{15}{2}-6\right)\\ &=& \frac{1}{2}\times\frac{6}{5}\times\frac{3}{2}\\ &=& \frac{9}{10} \end{eqnarray}

まとめ

実際の入試問題を扱いました。基礎編では簡単に見えたとしても、それが組み合わさると途端に難しくなります。でも、一つ一つは基礎的なことなので、やはり基礎は大事です。その上で、その基礎をつないでいく力が必要になります。

このシリーズでは、教科書的な求め方はもちろん、それ以外の求め方にも触れることで発想法の引き出しを増やします。引き出しが増えれば、問題を見たときに「さてどれで解こうかな」とパズル的な楽しみが出てきます。また、それらの解法が点と点でつながり、さらに強固なイメージへとつながります。シリーズ最初はこちら↓です。

また、台形型相似も頻出です。こちら↓です。