この記事は「内接円と外接円」シリーズの外接円編です。基礎編で学んだ導き方、実践編で身につけた使い方、入試問題編で鍛えた総合力を、ここでは外接円という “対になるテーマ” でさらに深めていきます。
三角形の外接円の半径を求める問題は、円周角の定理、相似、三平方の定理が複合的に絡むため、一見すると難しそうに見えます。しかし、発想の流れさえつかめばスッキリ解けるようになります。ここでは、外接円の半径を求めるための基本的な考え方と、入試で役立つポイントを丁寧に整理していきます。
解きたい問題と、解くための基本事項
問題
外接円の半径を求めよ。
すでに解き方の見通しが立つ人は「解きたい問題の解答」へ進んでください。
ここでは、この問題を解くために必要な発想を、基本問題から順に確認していきます。
基本その1：相似で解く（円周角の定理に気づけるかがカギ）
$\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。それにより、円の半径を求めよ。
一気通貫アニメーション
解説
色のついている二つの三角形は、実は相似です。どちらも直角三角形であることがポイントです。
まず、$\triangle\mathrm{ABH}$ は $\mathrm{H}$ を直角になるようにとったので直角三角形です。一方、$\triangle\mathrm{ADC}$ は、$\mathrm{AD}$ が直径なので、円周角の定理より
$$\angle\mathrm{ACD}=90^\circ$$
さらにもう一つ、円周角の定理より
$$\angle\mathrm{ABH}=\angle\mathrm{ADC}$$
となります。どちらも同じ弧 $\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AC}}$ に対する円周角だからです。
2つの角が等しいので、相似です。
$$\triangle\mathrm{ABH}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ADC}$$
アニメーションでも、$\triangle\mathrm{ABH}$ を回転させて $\triangle\mathrm{ADC}$ に重ねることで、相似であることが直感的に分かります。
相似より比例式を立てると、
$$13:\mathrm{AD}=12:15$$
となるので、
$$\mathrm{AD}=\frac{65}{4}$$
が求まります。
そして、$\mathrm{AD}$ は直径なので $2r$ です。よって、
$$r=\frac{65}{8}$$
となります。
基本その2：三平方の定理で直角三角形に分割する
三角形 $\triangle\mathrm{ABC}$ の高さを求めよ。
一気通貫アニメーション
解説
三辺が分かっているときの高さの求め方はこうだ！
まず、点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線を下ろします。これで直角三角形が二つできます。
底辺の長さを文字で置きます。$\mathrm{BH}=x$ と置けば、$\mathrm{HC}=14-x$ です。
ここで、二つの直角三角形それぞれに三平方の定理を適用します。どちらも高さ $\mathrm{AH}$ を共有しているので、$\mathrm{AH}$ を介して二つの式を立てることができます。
この二つの式を解くと、$x=5$, $\mathrm{AH}=12$ と求まります。
この「三辺が分かっているときの高さの求め方」は、入試で頻出のテクニックです。下記の記事も併せて読むと理解がさらに深まります。
解答
問題再掲
ここまでで、外接円の半径を求めるための基礎知識はそろいました。では、実際に解いていきます。まずは問題をもう一度確認します。
外接円の半径を求めよ。
一気通貫アニメーション
解説
基本その1により、直角三角形を得る
基本その2で扱ったように、次の直角三角形が得られています。
直径を斜辺とする直角三角形を作る
外接円の半径を求めるには、直径を斜辺とする直角三角形を作るのが王道です。点 $\mathrm{C}$ を対角とするように直角三角形を作ります。
基本その1の相似より、半径が分かる
基本その1で示したように、
$$\triangle\mathrm{ABH}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{ADC}$$
が成り立ちます。
相似の比例式を立てると、
$$13:2r=12:15$$
となるので、
$$r=\frac{65}{8}$$
が求まります。
まとめ
三角形の外接円の半径を求める問題を扱いました。この中には、三辺が既知のときの高さの求め方、円周角の定理、そして相似といった重要な考え方が複合的に含まれています。
入試では、これらの考え方を一気に自力で構成する問題はあまり出ません。多くの場合、誘導に沿って進めば自然と外接円の半径にたどり着くように作られています。
しかし、自分で構成して求められるようになっておくと、誘導問題はもちろん、他の図形問題でも発想が応用できるようになります。外接円は、内接円と並んで図形の理解を一段深めてくれるテーマです。
ここまで学んだ「直角三角形を作る」「円周角で角度をつかむ」「相似で長さを求める」という流れを、ぜひ他の問題でも活かしてみてください。
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