【合成関数の積分】かっこのままでの置換積分|微分の逆再生で暗算する裏ワザ

合成関数の積分を「かっこのままで」行う方法を扱います。
これは置換積分の一種ですが、実際には 置換積分を暗算しているだけ です。
コツさえつかめば、計算が一気に楽になる“裏ワザ”になります。

---

かっこのままで積分するとは？

これは、合成関数の微分を逆再生する イメージです。
前提となる考え方は、姉妹ページの「かっこのままで微分」で詳しく説明しています。

例えば、

のように、
「外側の微分 × 内側の微分」という形が現れます。

この構造をそのまま巻き戻すと、
かっこのままで積分できる というわけです。

---

例1：$\int(2x-1)^2\, dx$

解

$\left((2x-1)^3\right)^{\prime} = 3(2x-1)^2\cdot 2$ より、

$$(2x-1)^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{3}\left((2x-1)^3\right)^{\prime}$$

$$\therefore\;\int(2x-1)^2\, dx = \frac{1}{6}(2x-1)^3 + C$$

例2：$\int\sin x\,\cos x\,dx$

解

　$\left(\sin^2 x\right)^{\prime} = 2\sin x\cdot\cos x$ より、

$$\sin x\cos x = \frac{1}{2}\left(\sin^2 x\right)^{\prime}$$

$$\therefore\;\int\sin x\,\cos x\,dx = \frac{1}{2}\sin^2 x + C$$

置換して積分する（暗算の正体）

置換積分では、適当な $t=g(x)$ を選んで変数を入れ替えます。
しかし実際には、先ほどの「かっこのままで積分する」操作を
紙の上で丁寧にやっているだけ です。

置換積分の本質的なイメージはこちらで解説しています。

例1：$\int(2x-1)^2\, dx$ を置換で

　$t=2x-1$ とおくと、

• $(2x-1)^2 = t^2$
• $dt = 2dx$

なので、

\begin{eqnarray}
\int(2x-1)^2\,dx &=& \int t^2\cdot\frac{1}{2}dt\\
&=& \frac{1}{2}\frac{1}{3}t^3 + C\\
&=& \frac{1}{6}(2x-1)^3 + C
\end{eqnarray}

途中の式は、まさに「かっこのままで積分する」暗算そのものです。

例2：$\int\sin x\,\cos x\,dx$ を置換で

$t=\sin x$ と置くと、

• $\sin x\,\cos x = t\cos x$
• $dt = \cos x\, dx$

となり、$\cos x$ がうまく消えてくれます。

\begin{eqnarray}
\int\sin x\,\cos x\,dx &=& \int t\, dt\\
&=& \frac{1}{2}t^2 + C\\
&=& \frac{1}{2}\sin^2 x + C
\end{eqnarray}

$t=\sin x$ と置くと、一度は $t \cos x$ が残って不安になりますが、
次の $dt = \cos x\, dx$ でその不安の種がきれいに消えてくれます。

$\sin^2 x$ を微分すると $\cos x$ が出てくるので、
「後で必ず消えるはずだ」という見通しが立ちます。

結局のところ、この “微分後の形” を暗算で思い描けるかが置換積分の不安を解消してくれるわけです。

例題：かっこのままで積分する練習

例3：$\int x(x^2-1)\, dx$

$〇^2$ を微分すると $〇$ が出て、$x^2-1$ を微分すると $x$ が出る。
このことに着目すると、「$(x^2-1)^2$ を微分してみようか」と動機付けされます。

解

　$\left((x^2-1)^2\right)^{\prime} = 2(x^2-1)\times 2x$ より、

$$x(x^2-1) = \frac{1}{4}\left((x^2-1)^2\right)^{\prime}$$

$$\therefore\; \int x(x^2-1)\, dx = \frac{1}{4}(x^2-1)^2+C$$

確認

　Wolfram Alphaで確認

　一瞬、答えが違うように見えてしまいますが、よくよく見ると同じです。定数項に騙されています。

例4：$\int\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx$

$\sqrt{〇}$ を微分すると $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{〇}}$ が出て、$1-x^2$ を微分すると $x$ が出る。
このことに着目すると、「$\sqrt{1-x^2}$ を微分してみようか」と動機付けされます。

解

　$\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\times (-2x)$ より、

$$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-\left(\sqrt{1-x^2}\right)^{\prime}$$

$$\therefore\;\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = -\sqrt{1-x^2}+C$$

確認

　Wolfram Alphaで確認

例5：$\int\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\, dx$

$\log{〇}$ を微分すると $\displaystyle\frac{1}{〇}$ が出て、$x^2+1$ を微分すると $x$ が出る。
このことに着目すると、「$\log{(x^2+1)}$ を微分してみようか」と動機付けされます。

解

　$\left(\log{(x^2+1)}\right)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\times 2x$ より、

$$\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{2}\left(\log{(x^2+1)}\right)^{\prime}$$

$$\therefore\;\int\frac{x}{x^2+1}\, dx = \frac{1}{2}\log{(x^2+1)}+C$$

確認

　Wolfram Alphaで確認

例6：$\int\displaystyle\frac{\log{x}}{x}\, dx$

$〇^2$ を微分すると $〇$ が出て、$\log{x}$ を微分すると $\displaystyle\frac{1}{x}$ が出る。
このことに着目すると、「$(\log{x})^2$ を微分してみようか」と動機付けされます。

解

　$\left((\log{x})^2\right)^{\prime} = 2\log{x}\times\displaystyle\frac{1}{x}$ より、

$$\frac{\log{x}}{x} = \frac{1}{2}\left((\log{x})^2\right)^{\prime}$$

$$\therefore\;\int\frac{\log{x}}{x}\, dx = \frac{(\log{x})^2}{2}+C$$

確認

　Wolfram Alphaで確認

例7：$\int xe^{x^2}\,dx$

$e^{〇}$ を微分しても $e^{〇}$ が残り、$x^2$ を微分すると $x$ が出る。
このことに着目すると、「$e^{x^2}$ を微分してみようか」と動機付けされます。

解

　$\displaystyle\left(e^{x^2}\right)^{\prime} = 2xe^{x^2}$ より、

$$xe^{x^2} = \frac{1}{2}\left(e^{x^2}\right)^{\prime}$$

$$\therefore;\int xe^{x^2}\, dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$$

確認

　Wolfram Alphaで確認

例8：$\int x(x-2)^4\,dx$

$x$ と $(x−2)$ の組み合わせを見たとき、$(x−2)$ を中心にそろえたくなります。
そこで $x$ を「$(x−2)+2$」と分けると、形が一気にそろうことに気づきます。$0$ をうまく足している、ということですね。

解

\begin{eqnarray}
x(x-2)^4 &=& (x-2+2)(x-2)^4\\
&=& (x-2)^5+2(x-2)^4
\end{eqnarray}

より、

\begin{eqnarray}
&&\int x(x-2)^4\, dx\\
&&\qquad = \int \left\{(x-2)^5+2(x-2)^4\right\}\, dx\\
&&\qquad = \frac{1}{6}(x-2)^6+\frac{2}{5}(x-2)^5+C
\end{eqnarray}

確認

　Wolfram Alphaで確認

例9：$\int\sqrt{x+1}\,(x+2)\, dx$

$\sqrt{x+1}$ と $(x+2)$ の組み合わせを見ると、$(x+1)$ を中心にそろえたくなります。
そこで $x+2$ を「$(x+1)+1$」と分けると、指数がそろって積分しやすくなります。$2$ を $1+1$ に分けて整理している、ということですね。

解

\begin{eqnarray}
\sqrt{x+1}\,(x+2) &=& \sqrt{x+1}\,(x+1+1)\\
&=& (x+1)^\frac{3}{2}+(x+1)^\frac{1}{2}
\end{eqnarray}

より、

\begin{eqnarray}
&&\int\sqrt{x+1}\,(x+2)\, dx\\
&&\qquad = \int\left\{(x+1)^\frac{3}{2}+(x+1)^\frac{1}{2}\right\}\, dx\\
&&\qquad = \frac{2}{5}(x+1)^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}+C
\end{eqnarray}

確認

　Wolfram Alphaで確認

まとめ

合成関数の微分を 逆再生 することで、かっこのままで積分することができます。

そのためには、

• 合成関数の微分の型をしっかり身につける
• できるだけシンプルに考える
• 「外側の微分 × 内側の微分」の構造を見抜く

ことが大切です。

より本質的な置換積分の考え方はこちら。

合成関数の微分の “かっこのままで微分” はこちら。