【三角関数の極限】sinx/x の極限が1となる直感的かつ本質的な理解

　ここでは、

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

となることを直感的に理解します。それにより、

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=2$$

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

などもすんなりと理解できるようになります。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

　結論を先に書くとこれは、

ということを意味しています。このことを直感的に理解するため、両者のグラフを書いてみます。下記のアニメーションでは左側の□部分が徐々に $x\fallingdotseq 0$ になっていき、その範囲を右側に書いています。

　$\displaystyle\lim_{x\to 0}$ は直感的には $x\fallingdotseq 0$ を意味し、その時に $\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1$ なのだからすなわち、$\sin x=x$ を意味します。厳密には $x=0$ ではなく $x\fallingdotseq 0$ なので、

$$\sin x\fallingdotseq x$$

です。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=2$

　同様に考えればこれは、

ということです。同様にアニメーションで確認します。

答案に書くとき

　答案に書く際には $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ に帰着させて書く必要があります。なので、

答案

\begin{eqnarray}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x} &=& \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}\cdot 2\\
&=& 1\cdot 2\\
&=& 2\\
\end{eqnarray}

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x} = 1$ について

　$x\to 0$ のとき、当然ながら $2x\to 0$ なので、与式が成り立ちます。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$

　これも同様に考えれば、

ということです。アニメーションで確認します。

答案に書くとき

答案

\begin{eqnarray}
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} &=& \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\\
&=& 1\cdot \frac{1}{1}\\
&=& 1\\
\end{eqnarray}

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

　これも同様に考えれば、

ということです。アニメーションで確認します。

答案に書くとき

答案

\begin{eqnarray}
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} &=& \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\\
&=& \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\cos x}\\
&=& \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}\\
&=& 1\cdot\frac{1}{1+1}\\
&=& 1\cdot\frac{1}{2}\\
&=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}

まとめ

　微分を学習していく中でも謎公式の一つと思われる $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ について、この公式を直感的に理解しました。その理解は、$x\fallingdotseq 0$ のとき、$\sin\fallingdotseq x$ という感覚です。これは、難しい三角関数が、ある狭い範囲では多項式で近似できることを意味し、大学ではテイラー展開として一般化されます。興味のある方はテイラー展開でググってみるのも面白いでしょう。