場合の数の基本は、まず 樹形図 を描いて状況を整理することです。これは中学内容ですが、確率の単元ではとても重要な基礎になります。
そのうえで 「順列」「組み合わせ」 の考え方を知ると、数え方の見通しが一気によくなります。さらに記号（高校内容）を導入すると、立式がとても楽になります。中学生でも十分理解できる内容なので、ぜひ身につけておきましょう。
樹形図で理解する順列（中学内容）
A,B,C の順列（並べ方）
順列とは、並べ方のことです。まずは A,B,C の3つを並べる場合を樹形図で見てみましょう。
先頭は A・B・C の 3通り、次は 2通り、最後は 1通り。したがって、
$$3\times 2\times 1=6$$
通りとなります。
5 個すべてを並べる順列
考え方は同じですが、樹形図は大きくなるので途中までだけ描きます。
先頭は5通り、次は4通り、… と続くので、
$$5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$
5 個から 3 個を選んで並べる順列
今度は「全部ではなく一部だけを使う」場合です。樹形図は途中までで十分です。
先頭5通り → 次4通り → 次3通りなので、
$$5\times 4\times 3=60$$
組み合わせの考え方（順番を気にしない）
ここからは「順番を気にしない」選び方、つまり 組み合わせ を考えます。
5 個から 3 個を選ぶ組み合わせ
先ほどの題名と微妙に異なります。
- 5 個から 3 個を選んで並べる順列
- 5 個から 3 個を選ぶ組み合わせ
今回は組み合わせです。順列と組み合わせでは何が違うのでしょうか？
例えば A,B,C の3つを選ぶ場合、下の6通りの並べ方は
- 順列：異なるものとして数える（順番を気にする）
- 組み合わせ：同じものとして数える（順番を気にしない）
つまり先ほどは「順番を気にする順列」でしたが、今回は「順番を気にしない組み合わせ」です。
5つから3つを選ぶ順列は 60 通りでしたが、6通りずつ同じ組み合わせがあるので、
$$60\div 6=10$$
これが組み合わせの数です。
記号を導入してすっきりさせる（高校内容）
ここからは記号を使って今までの考え方をすっきり表します。高校内容ですが、中学生でも理解できます。
階乗 $n!$
$n$ 個すべてを並べるとき（順列）、
$$n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1$$
となります。これを
$n!$（エヌの階乗）
先の例では、「A,B,Cの順列（並べ方）」に相当し、
$$3!=3\times 2\times 1=6$$
順列 $_n\mathrm{P}_r$
$n$ 個の中から $r$ 個を選んで並べる 順列 は、
と書きます。$\mathrm{P}$ は Permutation（順列）の頭文字です。
先の例では、「5個から3個を選んで並べる順列」に相当し、
$$_5\mathrm{P}_3=5\times 4\times 3=60$$
組み合わせ $_n\mathrm{C}_r$
組み合わせは「順列 ÷ 並べ方の数（$r!$）」で求まります。
$\mathrm{C}$ は Combination（組み合わせ）の頭文字です。
先の例では、「5個から3個を選ぶ組み合わせ」に相当し、
$$_5\mathrm{C}_3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$$
まとめ
順列と組み合わせの違いは次の通りです。
- 順列：異なるものとして数える（順番を気にする）
- 組み合わせ：同じものとして数える（順番を気にしない）
記号を使うと立式がとても楽になり、確率の問題でも見通しがよくなります。
次の記事では、これらの考え方を実際の確率の立式にどう使うかを見ていきます。
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