図形の問題って、個々の性質は理解できても、補助線が必要になったり複数の性質が組み合わさったりすると途端に難しく感じますよね。「答えを見れば分かるけど、自分ではその補助線を思いつかない…」という状態は、実はあと一歩です。
大切なのは発想の引き出しを増やしていくこと。このシリーズでは、平面図形を “発想法の視点” から整理していきます。まずは流し読みでイメージをつかみ、アニメーションで頭に焼き付けてください。引き出しができてから自分で考える方が、ずっと効率的です。
そして今回扱うのは、シリーズの核となる発想の一つ、
「直角三角形から二等辺三角形を発見する」
というものです。直角三角形を見たら外接円を通して二等辺三角形を作る。この“発想の流れ”を身につけるのが今回のゴールです。
問題1：直角三角形から円が見える
では、この発想がどのように現れるのか、具体的な問題で見ていきましょう。
？の角度を求めよ。
これの発想の基礎には円周角の定理↓があります。
イメージ：どんどんと二等辺三角形が明らかに
まずはアニメーションで全体のイメージをつかんでください。また、復習の際にはアニメーションだけを見てもよいでしょう。頭の中でアニメーションが自動再生されるようになれば、自分の引き出しにできた合図です。
解
$\triangle\mathrm{BAD}$ で $\angle\mathrm{A}=90^\circ$ であることより、$\mathrm{BD}$ の中点を $\mathrm{O}$ とすると
$$\mathrm{AO}=6\mathrm{cm}$$
なので、$\triangle\mathrm{AOB}$ は二等辺三角形となる。($\rightarrow$ 解説)
よって、$\angle\mathrm{OAB}=15^\circ$。
ここで、$\angle\mathrm{BAD}=90^\circ$ より、
$\angle\mathrm{OAD}=75^\circ$
また、$\triangle\mathrm{AOD}$ は二等辺三角形なので $\angle\mathrm{ODA}=75^\circ$ となるから、
$\angle\mathrm{AOD}=30^\circ$
さらに、$\triangle\mathrm{OAC}$ は二等辺三角形なので、
$\angle\mathrm{ACD}=30^\circ$
解説：円とのコラボ_直角三角形を見たら二等辺三角形を作ろう
直角の頂点から中線を引くと二等辺三角形が二つできます。下記のように二通りの見方で理解できます。
一つは外接円を考えることです。$\angle\mathrm{A}=90^\circ$ より $\triangle\mathrm{BAD}$ には外接円が書けます。すると $\mathrm{BD}$ の中点 $\mathrm{O}$ は外接円の中心になっており、線分 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{OC}$ は全て円の半径なので長さは等しいです。
もう一つは同じ図形を回転してくっつけることです。すると四角形 $\mathrm{ABED}$ は長方形になります。長方形の対角線は中点で交わるため、長さは等しいです。
つまり、直角は二等辺三角形を作る入口なのです。直角三角形を見たら「外接円」や「回転」を思い出す。この発想ができると、図形の見え方が一気に変わります。
問題2：半径から円が見える
これは問題1の逆バージョンです。
$a$ を求めよ。
$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ から $\angle\mathrm{BAC}=90^\circ$ を見抜けるかがポイントです。直角三角形が見抜ければ三平方の定理を使うのは定石ですが、これは三年生で学習するので未学習の人は予習のつもりで見てください。
なお、三平方の定理については↓に小学生にも分かる証明アニメーションがあります。
イメージ：コンパスで円を書く
角の二等分線の性質を使った後、コンパスのようなシーンが出てきます。ここがこの問題のミソです。図形パターンとコンパスイメージを焼き付けましょう。
解
$\mathrm{DC}=x$ と置く。
線分 $\mathrm{BD}$ は $\angle\mathrm{ABC}$ の二等分線なので、$6:2a=3:x \Rightarrow x=a$
また、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ より $\triangle\mathrm{ABC}$ は点 $\mathrm{O}$ を中心とする円に内接する。すなわち、
$$\angle\mathrm{BAC}=90^\circ$$
よって三平方の定理より、
\[6^2+(3+a)^2=(2a)^2\\3a^2-6a-45=0\\ 3(a-5)(a+3)=0\]
$a>0$ より、
$$a=5$$
まとめ
直角三角形から二等辺三角形を連想するなんてなかなかのものですが、外接円を仲介することで連想できますね。一つ一つは教科書レベルの簡単な発想ですが、それが組み合わさると途端に難問になります。このシリーズではこのような発想の引き出しを養っていくので、今後も見てください。例えば↓はたいていの人は相似を使って解くけど実はもっと簡単な方法があるよ、という記事です。
円周角の定理をしっかりと学習したい方はこちらの記事を参照ください。
また、角の二等分線ではこちらの記事を参照ください。
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