【平面図形：入試問題】発想が豊かになる良問｜直角三角形・角の二等分線・相似

直角三角形、角の二等分線、相似、面積比。入試でよく出る発想が一つの問題にまとまっています。どの発想をどの順番でつなげるかを意識しながら読んでみてください。

問題1. 22年 西大和学園

問題を見て思うこと

まず目に入るのは、$\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{CEF}$ がどちらも直角三角形であること。三平方の定理や相似がすぐに候補に上がります。→解：三平方の定理から $\mathrm{AB}$ を求める

次に、$\angle\mathrm{C}$ に注目すると、$\mathrm{CF}$ が角の二等分線になっています。線分比が使える形です。→解：角の二等分線と線分比から $\mathrm{AD}$, $\mathrm{DB}$ を求める

そして、この問題の核心は、角の二等分線により $\angle\mathrm{ECF}=\angle\mathrm{ACD}$ が成り立つこと。直角三角形と組み合わせると、

$$\triangle\mathrm{CEF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{CAD}$$

という相似が生まれます。→解：相似比より $\mathrm{EF}$、$\mathrm{CF}:\mathrm{FD}$ を求める

イメージ

解

三平方の定理から $\mathrm{AB}$ を求める

$\angle\mathrm{A}=90^\circ$ より、$\triangle\mathrm{ABC}$ に三平方の定理を適用すると、

$\mathrm{AB}=3\quad\rightarrow$ 解説1

直角頂点から下した垂線の足でできる3線分の長さを求める

三辺が分かったので、垂線の足でできる3つの線分は次のようになります。

\begin{eqnarray} \mathrm{AE} &=& \frac{12}{5}\\ \mathrm{BE} &=& \frac{9}{5}\\ \mathrm{EC} &=& \frac{16}{5} \end{eqnarray}

（導出は → 解説2）

角の二等分線と線分の比から $\mathrm{AD}$, $\mathrm{DB}$ を求める

角の二等分線より、

\begin{eqnarray} \mathrm{AD}:\mathrm{DB} &=& \mathrm{CA}:\mathrm{CB}\\ &=& 4:5 \end{eqnarray}

$\mathrm{AB}=3$ なので、

\begin{eqnarray} \mathrm{AD} &=& \frac{4}{3}\\ \mathrm{DB} &=& \frac{5}{3} \end{eqnarray}

相似比より $\mathrm{EF}$ の長さ、$\mathrm{CF}$ と $\mathrm{FD}$ の比を求める

$\triangle\mathrm{CEF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{CAD}$ より、

$$\mathrm{EF}:\mathrm{AD}=\mathrm{CE}:\mathrm{CA}$$

$$\therefore\;\mathrm{EF}=\frac{\mathrm{AD}\cdot\mathrm{CE}}{\mathrm{CA}}=\frac{16}{15}$$

斜辺方向も同様に比例式を立てると、

\[\mathrm{CF}:\mathrm{CD}=\mathrm{CE}:\mathrm{CA}\\=\frac{16}{5}:\mathrm{4}=4:5\]

$$\therefore\;\mathrm{CF}:\mathrm{FD} = 4:1$$

面積比を求める

底辺比と高さ比を整理すると、

\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{ADF} &=& \triangle\mathrm{ABC}\times\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}\times\frac{\mathrm{FD}}{\mathrm{CD}}\\
&=& \triangle\mathrm{ABC}\times\frac{4}{9}\times\frac{1}{5}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\triangle\mathrm{CEF} &=& \triangle\mathrm{ABC}\times\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CB}}\times\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{EA}}\\
&=& \frac{4}{9}\times\frac{16}{25}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{\triangle\mathrm{ADF}}{\triangle\mathrm{CFE}} &=& \frac{1/5}{16/25}\\
&=& \frac{5}{16}
\end{eqnarray}

解説1. 覚えておくべき特別な直角三角形

次の4つは入試で頻出です。立式なしで即座に使えるようにしておきましょう。

三平方の定理の基礎は次の記事で復習できます。

解説2. 直角頂点から下した垂線の足でできる3線分の長さ

直角三角形では、直角から下した垂線によって3つの線分が決まります。導出の流れは次の記事にまとめています。

問題2. 19年 西大和学園_解1：図形問題らしい解き方

問題を見て思うこと

まず、$\angle\mathrm{B}$ が二等分されていること、$\angle\mathrm{C}$ と $\angle\mathrm{D}$ が直角であることが目に入ります。

角の二等分線より、$\mathrm{BA}:\mathrm{BC}$ の比が分かります。→解：角の二等分線から線分の比

さらに、$\angle\mathrm{B}$ 共通、$\angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{D}$ より、

$$\triangle\mathrm{BDC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCA}$$

が成立します。→解：相似の利用1

また、角の二等分線と直角の条件から、

$$\triangle\mathrm{BDF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCE}$$

も成り立ちます。→解：相似の利用2

イメージ

解

角の二等分線から線分の比

線分 $\mathrm{BE}$ は $\angle\mathrm{B}$ の角の二等分線なので、

\begin{eqnarray} \mathrm{BA}:\mathrm{BC} &=& \mathrm{AE}:\mathrm{EC}\\ &=& 3:2 \end{eqnarray}

$\angle\mathrm{B}$ 共通、$\angle\mathrm{C}=\angle\mathrm{D}$ から $\triangle\mathrm{BDC}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCA}$

相似より、

\begin{eqnarray} \mathrm{BD}:\mathrm{BC} &=& \mathrm{BC}:\mathrm{BA}\\ \mathrm{BD}\cdot\mathrm{BA} &=& \mathrm{BC}^2\tag{☆}\label{p3810eq1}\\ \therefore\;\mathrm{BD} &=& \frac{\mathrm{BC}^2}{\mathrm{BA}}\tag{★}\label{p3810eq2} \end{eqnarray}

（補足 → 解説. 方べきの定理とみてもよい）

角の二等分と直角の条件から $\triangle\mathrm{BDF}\unicode[sans-serif]{x223D}\triangle\mathrm{BCE}$

相似より、

\[\mathrm{DF}:\mathrm{CE}=\mathrm{BD}:\mathrm{BC}\\
\mathrm{DF}:2 = \frac{4}{3}:2\]

$$\therefore\;\mathrm{DF} = \frac{4}{3}$$

解説. 方べきの定理とみてもよい

式 \eqref{p3810eq1} の

$$\mathrm{BD}\cdot\mathrm{BA} = \mathrm{BC}^2$$

は、$\triangle\mathrm{ADC}$ が直角三角形であるため円が書け、方べきの定理としても理解できます。ただし、ここで扱っている長さは絶対値ではなく相対値です。

（参考 → 解2(上級). スマートな解法_方べきの定理）

解2：強引な解き方

図形的な発想が浮かばないときでも、座標を使えば強引に突破できる場合があります。計算量は増えますが、武器として持っておくと強いです。

$\mathrm{BA}:\mathrm{BC}=3:2$ より、

\begin{eqnarray} \mathrm{BA} &=& 3x\\ \mathrm{BC} &=& 2x \end{eqnarray}

と表せます。

解

文字 $x$ を導入して長さを表す

\begin{eqnarray} \mathrm{BA} &=& 3x\\ \mathrm{BC} &=& 2x \end{eqnarray}

三平方の定理より、

\begin{eqnarray} (3x)^2 &=& (2x)^2 + 5^2\\ 5x^2 &=& 25\\ x &=& \sqrt{5}\end{eqnarray}

よって、下図の座標における。

直線 $\mathrm{AB}$ を求める

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは

$$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

よって直線 $\mathrm{AB}$ の式は、

$$y=\frac{\sqrt{5}}{2}x+5$$

直線 $\mathrm{CD}$ を求める

直線 $\mathrm{AB}$ に垂直なので、傾きは

$$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

よって直線 $\mathrm{CD}$ の式は、

$$y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}x$$

交点 $\mathrm{D}$ を求める

直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{CD}$ の交点を求めます。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}x+5\\ y=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}x \end{array} \right. \end{eqnarray}

計算すると、

$$x=-\frac{10\sqrt{5}}{9},\quad y=\frac{20}{9}$$

$$\mathrm{D}\left(-\frac{10\sqrt{5}}{9},\,\frac{20}{9}\right)$$

直線 $\mathrm{BE}$ を求める

傾きは

$$\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

よって、

$$y=\frac{\sqrt{5}}{5}x+2$$

交点 $\mathrm{F}$ を求める

直線 $\mathrm{CD}$ と直線 $\mathrm{BE}$ の交点を求めます。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}x\\ y=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5}x+2 \end{array} \right. \end{eqnarray}

計算すると、

$$x=-\frac{2\sqrt{5}}{3},\quad y=\frac{4}{3}$$

$$\mathrm{F}\left(-\frac{2\sqrt{5}}{3},\, \frac{4}{3}\right)$$

$\mathrm{DF}$ の距離を求める

点 $\mathrm{D}$, 点 $\mathrm{F}$ の座標が分かったので、その距離は三平方の定理から求められます。

\begin{eqnarray}
\mathrm{DF}^2 &=& \left(-\frac{2\sqrt{5}}{3}+\frac{10\sqrt{5}}{9}\right)^2+\left(\frac{20}{9}-\frac{4}{3}\right)^2\\
&=& \left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)^2+\left(\frac{4\times 2}{9}\right)^2\\
&=& \left(\frac{4}{9}\right)^2\left((\sqrt{5})^2+2^2\right)\\
&=& \left(\frac{4}{9}\right)^2\times 9\\
&=& \left(\frac{4}{3}\right)^2\quad\rightarrow\text{解説2}
\end{eqnarray}

（計算の工夫については → 解説2）

$$\therefore\;\mathrm{DF}=\frac{4}{3}$$

解説1. 強引に解けると強い

図形的な発想が浮かばなくても、座標を使えば突破できる場合があります。ただし計算量が多く、ミスのリスクも高いので、試験では「時間が余ったときの最終手段」として使うのが現実的です。

普段から計算練習をしておくと、この “強引な一手” の成功率が上がります。特に、解説2 のような計算の工夫は大きな武器になります。

解説2. 計算の工夫について

$\mathrm{DF}^2$ の計算では、途中で数字を大きくしすぎないことが重要です。次の因数分解を使うと計算が一気に楽になります。

$$(ab)^2 + (ac)^2 = a^2(b^2 + c^2)$$

そのため、$\left(\displaystyle\frac{4\times 2}{9}\right)^2$ の分子をあえて $8$ と書かずに $4\times 2$ として、最初の項と因数分解できる形にそろえています。こうした工夫は計算ミスを大きく減らします。

まとめ

平面図形の入試問題を題材に、発想の流れと具体的な解法を見てきました。平面図形は「発想の引き出し」がとても重要です。良問をたくさん眺めることで、その引き出しは自然と増えていきます。

このブログではアニメーションを使って “流し読みでも発想が身につく” ように工夫しています。他の記事もぜひ見てみてください。例えば、