点と平面の距離には便利な公式がありますが、実はそれ以上に大事なのは「公式を忘れても楽に求められる」ことです。
この記事では、平面上の任意の点を使った「射影ベクトル」の考え方を用いて、点と平面の距離を最速で求める方法を解説します。これは【点と直線の距離】の空間版で、発想はまったく同じです。見比べて「なんや同じやん」と思えれば理解は完璧です。
また、別解として扱う「直線のベクトル方程式」は空間で非常に強力な道具です。こちらは【直線のベクトル方程式】の記事で詳しく扱っているので、合わせて読むと理解が一気に深まります。
公式の確認と、ここで理解したい式
公式の確認
まずは公式を確認します。
これは「点と直線の距離」の公式の自然な拡張版です。
2次元版：直線 $ax+by+c=0$ と点 $\mathrm{P}(x_0,y_0)$ との距離 $d$ は、
$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
3次元版：平面 $ax+by+cz+d=0$ と点 $\mathrm{P}(x_0,y_0,z_0)$ との距離 $d$ は、
$$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
ここで理解したい式：射影ベクトル
この記事で理解したいのは、次の「射影ベクトルによる距離」の式です。
$$d=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$$
- $\mathrm{Q}$：平面上の任意の点（どこでもよい）
- $\overrightarrow{n}$：法線ベクトル
この式と公式が一致すれば、この記事の目的は達成です。
公式で解く（比較のため）
まずは公式を使うとどうなるかを確認します。
平面 $x+2y+2z=2$ と点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ との距離 $d$ を求めよ。
平面を $ax+by+cz+d=0$ の形にすると
$$x+2y+2z-2=0$$
よって
\begin{eqnarray}
d &=& \frac{|1\cdot(-2)+2\cdot(-1)+2\cdot 0-2|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{6}{3}\\
&=& 2
\end{eqnarray}
平面の式は $ax+by+cz+d=0$ の形にしておく必要があります。
射影ベクトルで理解する距離（本命）
平面上の点を一つ選びます。扱いやすいので $\mathrm{Q}(0,1,0)$ とします。
（どこでもよい理由は後で説明します）
解
平面 $\alpha : x+2y+2z=2$ の法線ベクトルは、$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$。
点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ から $\mathrm{\mathrm{Q}}(0,1,0)$ へのベクトルは
$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$$
よって距離 $d$ は
\begin{eqnarray}
d &=& \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}= \frac{6}{3}\\
&=& 2
\end{eqnarray}
解説（アニメーション → ステップ）
まずは全体の流れをアニメーションで確認します。
ここからステップ・バイ・ステップで見ていきます。
1. 図示
平面 $x+2y+2z=2$ の法線ベクトルである $
\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ を青色ベクトルで、点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$、垂線の足 $\mathrm{H}$ を黒丸点で図示します。
2. 横から見た図：法線ベクトルの始点を $\mathrm{P}$ に合わせる
垂直がよくわかるように横から見た図にします。
法線ベクトルの始点を $\mathrm{P}$ に移動して、内積のイメージをつかみます。
3. 内積を取る
内積の定義より、鋭角の場合、
$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|$$
です。鈍角の場合も含めて表現すれば、
$$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|\tag{1}\label{p5602eq1}$$
です。
平面上の点 $\mathrm{Q}$ はダミーであり平面上ならどこでもよいです。
平面上にあるため、内積を取ると $\mathrm{H}$ に”集約”されます。
参考記事：
4. 距離の式が完成
\eqref{p5602eq1} $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{\mathrm{PH}}||\overrightarrow{n}|$ より
$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$$
となり、距離の式が完成します。
公式の証明（射影ベクトルから導く）
射影ベクトルの式が理解できれば、公式の証明は簡単です。
条件整理：
- 平面 $\alpha:\;ax+by+cz+d=0$
- 点 $\mathrm{P}:\;(x_0,y_0,z_0)$
- 法線ベクトル $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
- 平面上の点 $\mathrm{Q}:\;(x_1,y_1,z_1)$
$$\cdots\; ax_1+by_1+cz_1+d=0\;\text{を満たす}\tag{2}\label{p5602eq2}$$
なので、
\begin{eqnarray}
d &=& \frac{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\\
&=& \frac{|a(x_1-x_0)+b(y_1-y_0)+c(z_1-z_0)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
&=& \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\quad(\because\eqref{p5602eq2})
\end{eqnarray}
ベクトル方程式で解く別解
こちらも非常に強力です。
直線のベクトル方程式は【直線のベクトル方程式】で詳しく扱っています。
解
平面 $\alpha: x+2y+2z=2$ の法線ベクトルは、$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$。
点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ を通りこの方向に進む直線は、
$$\begin{pmatrix} x\\ y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ -1\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\2\end{pmatrix}$$
これが平面 $\alpha$ と交わるのは $t=\displaystyle\frac23$ のとき。
よって、
$$|\overrightarrow{\mathrm{PH}}| = |t\overrightarrow{n}| = \frac23\times 3=2$$
まとめ
公式は覚えていれば早くて便利ですが、中途半端だとミスにつながります。公式のイメージをしっかりと理解しておくことと、また公式を忘れても解けることが重要です。
公式も含め、他の手段の状況別おすすめ解法をまとめます。
| 状況 | 方法 | 理由 |
|---|---|---|
| 速く解きたい | 公式 | 計算が短い |
| 意味を理解したい | 射影ベクトル | イメージ的でミスが少ない |
| 応用したい | ベクトル方程式 | 応用範囲が広い |
応用として、垂線の足 $H$ の座標もすぐに求められます。
また、対称な点も $t$ を2倍にするだけで求まります。
2次元版はこちら：
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