この記事は「等積変形と面積半分問題」シリーズの実践編です。基礎編で扱った「平行がミソの等積変形」、応用編で扱った「頂点以外からの面積二等分」を踏まえ、ここでは実際の入試で役立つ3つの解法をまとめて扱います。
最も楽に解ける高校入試向けの方法から、図形の本質をつかむ地頭系の方法、そして「強引だが万能」な方法まで、状況に応じて使い分けられるようになるのが本記事の目的です。
図とアニメーションを使いながら、頂点以外の点を通る直線で三角形の面積を半分にする問題を、3つの視点からスッキリ理解していきましょう。
問題：頂点でない点を通る直線で三角形の面積を半分にする
点 $\mathrm{C}(0,2)$ を通り、$\triangle\mathrm{OAB}$ の面積を二等分する直線は？
まず $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積は即答できるように
三角形 $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積は $3$ です。これは問われればすぐに答えられるようにしておきましょう。
\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{OAB} &=& \frac{1}{2}\times 2\times 3\\ &=& 3 \end{eqnarray}
点 $\mathrm{C}$ を通り面積を半分にする直線のイメージ
面積が $3$ なので、半分は $1.5$。下のアニメーションでは直線が彷徨っていますが、ここで伝えたいのは、「直線が決まれば面積も決まる」ということです。この発想は特に「解き方3（強引な解き方）」で重要になります。
解き方1. 高校入試っぽい解き方
解
まず、$\mathrm{OB}$ の中点を $\mathrm{M}$ と置くと $\mathrm{M}(1,2)$ です。このとき、
$\triangle\mathrm{MAB}$ は $\triangle\mathrm{OAB}$ の半分
になります。
次に、点 $\mathrm{A}$ を通り $\mathrm{CM}$ に平行な直線を引き、線分 $\mathrm{OB}$ と交わる点を $\mathrm{P}$ とします。
$\triangle\mathrm{ACM}$ の面積 ＝ $\triangle\mathrm{PCM}$ の面積
となるため、
$\triangle\mathrm{PCB}$ の面積は $\triangle\mathrm{OAB}$ の半分
よって、求める直線は $\mathrm{CP}$ であり、その式は
$$y=-2x+2$$
解説1-1. 詳しくはこちら
この解き方は下記の記事↓で詳しく解説しています。
解き方2. 地頭のよい解き方
四角形は三角形2つです。つまり、四角形の面積は三角形2つの面積の和。この発想を使って、考える図形をすべて三角形に分割してしまえば、面積比が一気に扱いやすくなります。
解
明らかに $\triangle\mathrm{OAC} < \triangle\mathrm{OBC}$ なので、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OB}$ 上にあります。
このとき、
$\mathrm{AP}$ で四角形 $\mathrm{OACP}$ を分ける。
すると、$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=1:2$ より、
$\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{CBP}=1:2$。
つまり、$\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{OAP}=1:1$ であればよい。
（そうすると、四角形 $\mathrm{OACP}:\triangle\mathrm{BCP}=②:②$ になるから。）
すなわち、$\triangle\mathrm{CAP}:\triangle\mathrm{OAP}=1:1$ であるためには、
$$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:1$$
であってほしく、$\mathrm{OC}=2$ なので、
$$\mathrm{OD}=\mathrm{DC}=1$$
$$\therefore\;\mathrm{D}(0,1)$$
よって、
$$\mathrm{P}\left(\frac{1}{2}, 1\right)$$
したがって、求める直線 $\mathrm{CP}$ は、
$$y=-2x+2$$
類題
近しい発想を使う類題として、下記があります。
直接その箇所へは こちら。この問題では、四角形全体の面積が⑩なので、半分にするには⑤と⑤に分ける、という考え方を使っています。
また、台形の面積比を底辺の長さの比で置き換える発想は、下記の問題で扱っています（直接その箇所へは こちら）。
解き方3. 万能な解き方
これは万能ですが強引です。強引ですが万能、と言った方がよいかもしれません。強引に解けるというのは、絶対に解きたい入試の場面では非常に役に立ちます。解き方1・2のようなスマートな方法も大切ですが、こうした “力技” も身につけておきたいところです。
解
明らかに $\triangle\mathrm{OAC} < \triangle\mathrm{OBC}$ なので、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OB}$ 上にあります。すなわち、$y=2x$ 上にあります。したがって、点 $\mathrm{P}$ の座標は
$$\mathrm{P}(k, 2k)$$
と置けます。
このとき、
\begin{eqnarray} \triangle\mathrm{PBC} &=& \triangle\mathrm{OBC} – \triangle\mathrm{OPC}\\ &=& 2\times 2\times\frac{1}{2} – 2\times k\times\frac{1}{2}\\ &=& 2 – k \end{eqnarray}
これが $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $3$ の半分になればよいので、
\begin{eqnarray} 2 – k &=& \frac{3}{2}\\ \therefore\; k &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}
よって、
$$\mathrm{P}\left(\frac{1}{2}, 1\right)$$
したがって、求める直線 $\mathrm{CP}$ は、
$$y=-2x+2$$
解説3-1. パラメータ表示に慣れると強い
解答では、求める点 $\mathrm{P}$ の座標を
$$\mathrm{P}(k, 2k)$$
と置きました。これは、点 $\mathrm{P}$ が直線 $y=2x$ 上にあるためです。$x=k$ と置けば、$y=2k$ となります。
このように、ある直線や図形上の点を $k$ などの文字を使って表す方法を、
- パラメータ表示
または日本語で
- 媒介変数表示
と言います。強引解法の強い味方です。ぜひ練習してみてください。
類題
近しい発想を使う類題として、下記があります（直接その箇所へは こちら）。
おまけ. 一応公式的なものはある
分割する支点が頂点でない場合でも、一応「公式的なもの」は存在します。それが次の関係式です。
$$\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{BAO}=\mathrm{BC}\times\mathrm{BP}:\mathrm{BA}\times\mathrm{BO}$$
今回のケースでは、$\triangle\mathrm{BCP}:\triangle\mathrm{BAO}=1:2$ にしたいので、$\mathrm{BC}:\mathrm{BA}=2:3$ から、
\begin{eqnarray} \begin{array}{c} 1:2 = 2\times\mathrm{BP} : 3\times\mathrm{BO}\\ \mathrm{BP}:\mathrm{BO} = 3:4\\ \therefore\;\mathrm{BP}:\mathrm{PO} = 3:1 \end{array} \end{eqnarray}
となり、点 $\mathrm{P}$ の座標は
$$\mathrm{P}\left(\frac{1}{2}, 1\right)$$
と求まります。
ただし、この公式は出番が多いわけではありません。これまで紹介した3つの考え方をマスターする方が圧倒的におすすめです。
まとめ
頂点でない点を通る直線で三角形の面積を半分にする問題を扱いました。
一つ目の解き方は最も楽で、高校入試では特に有効です。ただし、少しテクニカルで、慣れていないと発想しにくいかもしれません。
そのような場合でも、二つ目・三つ目の解き方で解けるようになれば、図形全般で役に立つ“本物の力”が身につきます。ひとつの問題に対して複数のアプローチを思いつけるようになると、入試図形は一気に楽になります。
面積半分問題は下記の記事でじっくり扱っています。
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