【ベクトル方程式】垂線の足を求める（内積・外積の本質）

平面に下ろす垂線は、ベクトルで考えると驚くほどシンプルです。平面を張る2本のベクトルと、内積・外積の役割を図形的に整理しながら、垂線の足をスッと求める流れをまとめました。空間ベクトルの基礎と合わせて読むと、直線と平面の関係が一気にクリアになります。

0. 問題

問題のイメージ

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この記事はベクトル方程式で平面を扱うときの典型問題です。下記の記事と合わせて読むと、直線・平面の扱いが一気に整理されます。

平面の方程式が与えられている場合の「点と平面の距離」はこちら：

距離だけを一瞬で求める「射影ベクトル」の記事はこちら：

準備

平面 $\alpha$ は、2つの一次独立なベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ で張られます。座標から、

\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} \]

後で使うので、点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ から $\mathrm{A}(0,0,1)$ へのベクトルも求めておきます。

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$$

1. 垂直：内積＝0 で求める

平面上の点の表し方

平面 $\alpha$ 上の点 $\mathrm{H}$ は、

$$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{AC}}\tag{1-1}\label{eq1-1}$$

と表せます。平面上の点をベクトルで表す方法は下記で扱っています。

垂直条件：内積＝0

垂線の足 $\mathrm{H}$ は、平面の基底ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ に垂直です。

• $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

$$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$$

\eqref{eq1-1} を代入して計算すると、

$$0+2s+t=0\tag{1-2}\label{eq1-2}$$

$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

同様に、

$$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$$

より、

$$3+s+5t=0\tag{1-3}\label{eq1-3}$$

連立して $s,t$ を求める

\eqref{eq1-2}, \eqref{eq1-3} より、

$$s=\frac13,\quad t=-\frac23$$

$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$ を求める

これを \eqref{eq1-1} に代入すると、

$$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac23\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$

答え

点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ から、

$$\mathrm{H}\left(-\frac43,\frac13,\frac43\right)$$

2. 垂直：外積で一発

垂線方向とは？

垂線方向とは、平面の基底ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の両方に垂直な方向です。

この方向を一発で求めるのが 外積 です。

外積で法線方向を求める

符号はどちらでもよいので、法線方向ベクトルを

$$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$

と取ります。

平面 $\alpha$ の方程式

平面 $\alpha$ の方程式は、$\mathrm{A}(0,0,1)$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,1,-1)$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,0,-1)$ より、

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$$

これと $\overrightarrow{n}=(1,2,2)$ と内積を取り、平面 $\alpha$ の方程式は、

$$x+2y+2z=2$$

垂線の直線方程式

点 $\mathrm{P}(-2,-1,0)$ から法線 $\overrightarrow{n}$ 方向へ直線を引くと、

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\end{pmatrix}+u\,\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\tag{2-1}\label{eq2-1}$$

平面との交点

これを平面の方程式に代入すると、

$$u=\frac23$$

答え

\eqref{eq2-1} に代入すると、

$$\mathrm{H}\left(-\frac43,\frac13,\frac43\right)$$

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同じ問題を、平面の方程式から直接距離を求める形で扱った記事はこちら：

まとめ

平面に下ろす垂線は、ベクトルで考えると「平面を張る2本のベクトルに垂直な方向」を押さえるだけで一気に見通しがよくなります。内積を使う方法は仕組みが分かりやすく、外積を使う方法は計算が一発で進むのが魅力です。どちらの方法も、空間ベクトルの本質である「方向を見る」ことにつながっています。

直線・平面の扱いをさらに深めたい場合は、ベクトル方程式シリーズの基礎や、点と平面の距離の記事も合わせて読むと理解がより強固になります。