【連立方程式の解の個数】グラフを描画して交点を数えるイメージをマスター！

連立方程式の解はグラフの交点です。その際、ちょっとしたコツを理解していると劇的に楽になる場合があります。ここでは次の例題を元に、そのことを理解します。

\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}
y=x^3-2x-2\\
y=x+a
\end{array}\right.
\end{eqnarray}

なお、「連立方程式の解はグラフの交点」は下記の記事でじっくりと述べていますので見てください。

工夫して楽にする

問題文を次のように読み替えます。

問題文（再掲）：

\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}
y=x^3-2x-2\\
y=x+a
\end{array}\right.
\end{eqnarray}

読み替え：

\begin{eqnarray}
\left\{\begin{array}{l}
y=x^3-3x-2\\
y=a
\end{array}\right.
\end{eqnarray}

下側の式を、$y=x+a$ から $y=a$ にした代わりに、
上側の式を、$y=x^3-2x-2$ から $y=x^3-3x-2$ に変えています。

どちらも、

$$x^3-2x-2=x+a\;\iff\; x^3-3x-2=a$$

の解であるので、同じです。

$y=x^3-3x-2$ のグラフはこのようです。

ここに、$y=a$ のグラフを重ねて描いて交点の個数を数えます。

上記のイメージより、

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{ll}
a<-4 & 1個 \\
a=-4 & 2個 \\
-4<a<0 & 3個 \\
a=0 & 2個 \\
a>0 & 1個
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

ここではあえて工夫をしないバージョンも経験してみましょう。このときは次の状態を考えればよいです。

なぜなら、この線を境に交点の個数が変わっていくからです。

これでも同じ結果が得られます。

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{ll}
a<-4 & 1個 \\
a=-4 & 2個 \\
-4<a<0 & 3個 \\
a=0 & 2個 \\
a>0 & 1個
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

接線の状態を計算するのには若干苦労しますが、可能です。これは下記の記事の「接点未知」の章で解説しています。

工夫版の方がよいですね。

連立方程式の解の個数を求める問題を、グラフの描画問題に置き換えて考えました。
その際、$y=x+a$ を $y=a$ に置き換える工夫をしました。つまり、

といったところです。

グラフの交点が連立方程式の解であることは当たり前のようで、実はとても強力な視点です。
詳しくは下の記事でも解説しています。