【平面のベクトル方程式】空間上に浮かぶ“座標平面”：2本の基底ベクトルとパラメータの本質

平面は3点が与えられれば決まります。同じことですが、1点と2つの一次独立なベクトルが与えられれば決まります。この記事では、そのイメージをアニメーションでつかみ、平面のベクトル方程式を自然に書けるようにします。

ベクトル方程式が書ければ、軌跡方程式への変換は法線ベクトルと内積を取るだけ。空間ベクトルの問題が一気に整理されます。

平面を張るベクトルや一次独立については、下記の記事で詳しく扱っています。

難関大では、この考え方を前提にした問題が頻出です。例として下記の記事でも扱っています。

平面のベクトル方程式

平面は2つの一次独立なベクトルで張られる

平面は2つの一次独立なベクトルで張られます。空間上の平面は、媒介変数（パラメータ） $s,\, t$ を使って次のように表せます。

これは、

点 $\mathrm{A}$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ で張られる平面

という意味です。まずはアニメーションでイメージをつかみましょう。

最後に $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AC}$ を単位とした碁盤の目が現れました。これが新しい座標平面で、$s$, $t$ が新しい座標の役割をします。

$s$, $t$ は「平面上の新しい座標」

例えば点 $(-4,8,2)$ は平面 $\alpha$ 上の点で、$s=3$, $t=2$ と表せます。実際に計算すると、

\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=&\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\ &=&\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix} +3\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix} +2\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}-4\\8\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray}

同様に $(7,1,-2)$ は $s=2$, $t=-3$ で表せます。

この碁盤の目を想像すると、平面上の任意の点が $s$, $t$ の組で表せることがよく分かります。

ここで見えてくるのが、パラメータの本質です。$s$ と $t$ は単なる計算用の記号ではなく、平面を“座標平面”として扱うための新しい座標そのものです。つまり、平面上の点を $(s,t)$ という座標で表すための軸の役割をしています。

別の表現：$(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

次の2つの式はどちらも同じ平面を表します。

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{AC}}\tag{1}\label{p5466eq1}$$

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}\tag{2}\label{p5466eq2}$$

式\eqref{p5466eq2} を変形すると式\eqref{p5466eq1} になります。

\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OP}} &=&(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\ &=&\overrightarrow{\mathrm{OA}} +s(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}) +t(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\\ &=&\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \end{eqnarray}

平面の軌跡方程式

$ax+by+cz=d$ にするには？ 法線ベクトルと内積を取るだけ

平面のもう一つの表現は、

$$ax+by+cz=d$$

という軌跡方程式です。ベクトル方程式からこの形にするには、法線ベクトルと内積を取るだけです。

外積を使うと、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,2,-1)$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,1,1)$ の両方に垂直なベクトル (法線ベクトル：$\overrightarrow{n}$ ) の一つは

$$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$

です。これを使っって平面のベクトル方程式\eqref{p5466eq1}との内積を取ると、

$$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}} =\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}} +s\,\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} +t\,\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix} +s\cdot0+t\cdot0$$

$$\therefore\;x+y+z=6$$

$s$, $t$ の係数が消えるのは、法線ベクトルが平面を張る2本のベクトルに垂直だからです。

まとめ

平面は1点＋2本の一次独立ベクトルで張られ、その組み合わせが平面のベクトル方程式になります。さらに、法線ベクトルと内積を取ることで、軌跡方程式 $ax+by+cz=d$ が得られます。

法線ベクトルは外積で求められます。詳しくは下記の記事で扱っています。