確率の問題では場合の数を正しく数えることがとても大切です。ただ、最初はどうしてもミスしがちなので、まずは典型的な問題を「流し読み」して慣れるのが効果的です。ここでは、代表的な問題をまとめて扱い、立式の感覚を身につけていきます。
さいころ系：2回投げる（独立事象）
さいころの問題は、確率の基本である「独立事象」と「全体の数え方」を練習するのに最適です。
さいころを2回投げるとき、1回目と2回目は互いに影響しません。このように、一方の結果が他方に影響しないことを独立事象といいます。
1回目は6通り、2回目も6通りなので、全体の出方は
$$6\times 6=36$$
通りです。「同時に投げる」と表現しても同じで、結局は独立事象です。
以下では、分母はすべて 36 通り。あとは分子の数え方を練習していきます。
目の数の和が7
和が7になるのは次の6通り。
$$(1,6),\; (2,5),\; (3,4),\; (4,3),\; (5,2),\; (6,1)$$
よって確率は
$$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$
目の数の和が8
和が8になるのは次の5通り。
$$(2,6),\; (3,5),\; (4,4),\; (5,3),\; (6,2)$$
よって確率は
$$\frac{5}{36}$$
目の数の和が3の倍数
和が3の倍数になるのは次の12通り。
$$(1,2),\; (1,5),\; (2,1),\; (2,4),\; (3,3),\; (3,6),\; (4,2),\; (4,5),\; (5,1),\; (5,4),\; (6,3),\; (6,6)$$
よって確率は
$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$
1回目を十の位、2回目を一の位とした2桁の数が3の倍数
実は「各位の和が3の倍数 ⇔ その数は3の倍数」という性質があるので、先ほどの問題と同じ12通りになります。
ある数字が3の倍数 ⇔ 各位の和が3の倍数
よって確率は
$$\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$
少なくとも1回は奇数の目
黄色の部分が題意に合う場合です。
27通りあるので、確率は
$$\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$$
逆側の事象を使うと楽に数えられる
「少なくとも1回は奇数」は、「両方とも偶数」ではない場合です。両方偶数は9通りなので、
$$36-9=27$$
確率は同じく
$$\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$$
順列系（順番を気にする数え方）
ここでは、↓の記事で学んだ順列の考え方を使って、確率の立式を楽にします。
5 個すべてを並べる順列
$$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$
5 個から 3 個を選んで並べる順列
$$_5\mathrm{P}_3=5\times 4\times 3=60$$
1～6のカードを2枚取り出し、2桁の数が3の倍数
さいころと違い、カードは同じ数字が2回出ません。よって順列で数えます。
$$_6\mathrm{P}_2 = 6\times 5 = 30$$
このうち、3の倍数になるのは次の10通り。
$$(1,2),\; (1,5),\; (2,1),\; (2,4),\; (3,6),\; (4,2),\; (4,5),\; (5,1),\; (5,4),\; (6,3)$$
よって確率は
$$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$$
組み合わせ系（順番を気にしない数え方）
ここでは、順番を気にしない「組み合わせ」を使って数えます。
5人から2人を選ぶ
$$_5\mathrm{C}_2 = \frac{5\times 4}{2\times 1}=10$$
5人から2人選ぶとき、自分が選ばれる確率
自分をAとすると、自分が含まれるのは (A,B), (A,C), (A,D), (A,E) の4通り。
よって確率は
$$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$
青玉4個・白玉2個から2個を取り出す
同じ色の玉でも、確率では区別して数えるのが基本です。
確率は、同じものでも区別する
まず全体の取り方は
$$_6\mathrm{C}_2 = \frac{6\times 5}{2\times 1}=15$$
2個とも青玉
青玉は4個あり、この4個から2個を選ぶ（順番は気にしない）から、
$$_4\mathrm{C}_2 = \frac{4\times 3}{2\times 1}= 6$$
確率は
$$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$
2個とも白玉
白玉2個から2個選ぶので1通り。
確率は
$$\frac{1}{15}$$
青玉と白玉が1個ずつ
青4通り × 白2通り = 8通り。
確率は
$$\frac{8}{15}$$
確かに全部足すと1になる
$$\frac{6}{15}+\frac{1}{15}+\frac{8}{15}=1$$
まとめ
確率の問題は、典型的な場合の数に慣れることで一気に楽になります。
- さいころ系：同じ目も出うるので、$6\times 6$ のように $n^r$ で数える
- 順列系：順番を気にする並べ方 $_n\mathrm{P}_r$
- 組み合わせ系：順番を気にしない選び方 $_n\mathrm{C}_r$
今回の例題を何度か眺めておくと、確率の立式がぐっと楽になります。
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