微分の代表的な応用のひとつが「接線の方程式」です。この問題は大きく次の3パターンに整理できます。
- 接点が分かっている場合
- 傾きが分かっている場合
- 曲線外の点から接線を引く場合
これらを接線や直線が彷徨うイメージを持って解くことができれば、より高度な問題も難なく解けるようになっていきます。普通の参考書では得られない様々なイメージで、奥の深い理解につなげていきます。
微分の気持ち自体はこの記事にて解説：
接点が分かっている場合
$y=x^3-2x-2$ 上の点で、接点の座標が $x=1$ のとき、その接線の方程式ともう一つの交点の座標を求めよ。
確定的なイメージ
この場合はすべてが確定的に求まっていく、基本の問題です。
まずは $y=x^3-2x-2$ のグラフを描く必要がありますが、これは描ける前提で話を進めます。グラフを描く基本はこちらの記事↓で詳しく扱っています。また、グラフを描く上ではこのページも非常に有効です。
接点から傾きが求まる
関数がこのように与えられているので、
$f(x)=x^3-2x-2$
これを微分すると、
$$f^\prime(x)=3x^2-2$$
よって $x=1$ での微分係数は、
$f^\prime(1)=1$
通る点は $x=1$ を代入して $y=-3$
$$f(1)=1^3-2\cdot 1-2=-3$$
接線の方程式
傾きと通る点が出たので、直線の方程式はすぐに出ます。
\begin{eqnarray}
y &=& 1(x-1)-3\\
&=& x-4
\end{eqnarray}
接線の方程式：$y=x-4$
傾き $1$ で点 $($$1$$,$$-3$$)$ を通る直線を、あえて $y=$$1$$(x-$$1$$)$$-3$ と書いています。直線の式のコツです（下記記事）。
もう一つの交点
曲線と接線を連立すると、
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
y=x^3-2x-2 \\
y=x-4\tag{1}\label{p306eq1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
より、
$$x^3-3x+2=0$$
ここで次のことに着目します。
$x=1$ で接している $\Leftrightarrow$ $(x-1)^2$ を因数に持つ
つまり、
$$(x-1)^2(x-□)=0$$
の形になるはず。元の式：
$$x^3-3x+2=0$$
と見比べて、半ば強引に、
$$(x-1)^2(x+2)=0$$
と分かります。（定数項を見比べれば分かりますね。一応、展開して検算しましょう。）
以上より、もう一つの交点は $x=-2$。\eqref{p306eq1}より $y=-6$ も分かります。
もう一つの交点：$(-2,-6)$
傾きが分かっている場合
$y=x^3-2x-2$ において、傾きが $1$ である接線の方程式を求めよ。
これは直前の問題と酷似しているので、接線の1本はすぐに分かります。そう、$y=x-4$ です。
しかしここでは、直前の問題がないとして2つの方法で解いていきます。
- 接線が彷徨うイメージ
- 直線が彷徨うイメージ
方法1：接線が彷徨う
接線が彷徨って、傾きが $1$ になったところで「ここだ！」という感じです。
そして、その「ここだ！」は 2か所 あります。
接線を彷徨わせるイメージは導関数(赤の線)と紐づけたいです。導関数は接点の傾きの値をプロットしたものです。
元の関数(青の線)は3次関数なので、その微分である導関数(赤の線)は2次関数です。なので、「ここだ！」が 2か所 出てきます。
実際、微分すると、
$y^\prime = 3x^2-2$
この値が $1$ になる $x$ を求めればよく、
$$3x^2-2=1$$
$$3(x-1)(x+1)=0$$
よって、
$$x=-1,\, 1$$
の 2か所 で「ここだ！」が現れます。
接線の方程式
$y$ の値はそれぞれ、
$x=-1$ のとき、$f(-1)=(-1)^3-2(-1)-2=-1$
$x=1$ のとき、$f(1)=1^3-2\cdot 1-2=-3$
なので、求める接線の方程式は、
\begin{eqnarray}
y&=&1(x+1)-1=x\\
y&=&1(x-1)-3=x-4
\end{eqnarray}
方法2：直線が彷徨う
傾き $1$ の直線が彷徨って、曲線に接したところで「ここだ！」という感じです。
そして、その「ここだ！」は 2か所 あります。
では、直線をどう彷徨わせるかというと $—$
ポイントは、
傾き $1$ の直線を $y=x+a$ と置き、$a$ を動かす
という発想です。
この直線が曲線に接するということは、
連立方程式が重解を持つ
ということです。
連立方程式を立てる
まずは素直に連立します。
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
y=x^3-2x-2 \\
y=x+a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これが重解を持てばよいのですが、このままでは少し扱いにくいので、見方を変える工夫 をします。
連立方程式の見方を変える
上記の連立方程式の解 $x$ は、次の連立方程式の解 $x$ と同じです。
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
y=x^3-3x-2 \\
y=a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
こう見ると、
$y=x^3-3x-2$ のグラフと、水平線 $y=a$ の交点
という形になり、分かりやすくなります。
この図より、
- $y=0$：すなわち、$a=0$
- $y=-4$：すなわち、$a=-4$
のとき、水平線が曲線に接している（＝重解を持つ）ことが分かります。
接線の方程式
接線の方程式は $y=x+a$ と置いていたので、
求める接線の方程式は、
\begin{eqnarray}
y&=&x\\
y&=&x-4
\end{eqnarray}
となります。
連立方程式の見方を変える発想は下記の記事で取り扱っています。連立方程式の解の個数問題：
曲線外の点から接線を引く
点 $(1,1)$ から $y=x^3-2x-2$ に引いた接線の方程式を求めよ。
これは次のように言われても同じです。
$y=x^3-2x-2$ の接線が点 $(1,1)$ を通るとき、接線の方程式を求めよ。
同じことではありますが、両方のイメージをつけていきます。前者は直線が彷徨うイメージ、後者は接線が彷徨うイメージです。まずは考えやすい後者から。
方法1：接線が彷徨う
$y=x^3-2x-2$ の接線が点 $(1,1)$ を通るとき、接線の方程式を求めよ。
接線を彷徨わせるには、
接点を $x=a$ と置き、その点での接線の式を立てる
と発想しましょう。その接線が点 $(1,1)$ を通るということは、
接線の式に $(1,1)$ を代入して成り立つ
ということです。
$x=a$ での接線の方程式
接点 $x=a$ の傾きは、
$f^\prime(a) =$ $3a^2-2$
接点 $x=a$ の $y$ 座標は、
$f(a)=$$a^3-2a-2$
よって、接線の方程式は
$y = $$(3a^2-2)$$(x-$$a$$)+$$a^3-2a-2$$$\tag{2}\label{p306eq2}$$
となります。
\eqref{p306eq2} が点 $(1,1)$ を通る
この接線\eqref{p306eq2}が点 ($1$,$1$) を通るので、
$1$$=(3a^2-2)($$1$$-a)+a^3-2a-2$
\begin{gather}
2a^3-3a^2+5=0\\
(a+1)(2a^2-5a+5)=0
\end{gather}
一つの解は、$a+1=0$
$$a+1=0 \Rightarrow a=-1$$
もう一つの解は、$2a^2-5a+5=0$
判別式を計算すると、
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 5=25-40<0$$
よって実数解なし。
接線の方程式
意味を持つのは $a=-1$ のときだけです。
接線は \eqref{p306eq2} の、$y = (3a^2-2)(x-a)+a^3-2a-2$ に $a=-1$ を代入して、
$$y=x$$
となります。
方法2：直線が彷徨う・・・うまくいかない
点 $(1,1)$ から $y=x^3-2x-2$ に引いた接線の方程式を求めよ。
直線を彷徨わせるには、それもこの場合は点 $(1,1)$ を通る直線を彷徨わせる場合は、
傾きを $a$ と置き、点 ($1$,$1$) を通る直線の式を立てる
と発想しましょう。その直線の式は、
$y=$$a$$(x-$$1$$)$$+1$
です。
接するので
先ほども見たように、接するとは、連立方程式が重解を持つ、ということです。すなわち、
\begin{eqnarray}
\left\{ \begin{array}{l}
y=x^3-2x-2 \\
y=a(x-1)+1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ですが、先ほどのようにはうまくいきません。先ほどは $y=a$ と分離できたので3次関数の頂点を求る問題に帰着できたのですが、今回はそのようにはいきません。
それでもイメージは大切に
今回はうまくいきませんでしたが、点 $(1,1)$ を通る直線が彷徨うイメージ、というものを体感できたと思います。このような引き出しをたくさん持っておいて、それぞれでうまくいくかどうかを試していく。この繰り返しでイメージ豊かな解法が身についていきます。
まとめ
接線の方程式の問題を、3つのパターンに類別して解説しました。
- 接点が分かっている場合
→ 微分して傾きを出し、通る点とから直線の式を求める。 - 傾きが分かっている場合
– 接線が彷徨う
→ 接点の傾きが導関数と紐づくイメージ。導関数の値が $1$ になる場所を求める。
– 直線が彷徨う
→ 直線を $y=x+a$ と置いて彷徨うイメージ。連立方程式の解の個数問題に帰着。 - 外部点から接線を引くとき
– 接線が彷徨う
→ 接点を $x=a$ と置いて接線の式を立て、外部点を代入する。
どの方法も、「接線や直線が彷徨うイメージ」を持つと一気に理解が深まります。
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