【共通テスト2025：物理】状態方程式、電磁気

　昨年度に引き続き、解いて終わりの過去問ではなく、復習して実力をつける過去問です。各問題は復習しやすいようにある程度簡略化して書いています。

ここでは、全部で大問にして4問あるうち、第1問の1と4、および第3問と第4問を取り上げました。

そのうち、電磁気は下記↓の記事で基礎を述べていますので、合わせてみてください。

第1問-1　状態方程式

解

　中の気体の物質量を $n$、気体定数を $R$ と置くと、山頂とふもとの状態方程式はそれぞれ、

$$P_0\, V = nRT_0$$

$$P_1\, (V-\Delta V) = nRT_1$$

より、それぞれ割り算して

$$\frac{P_0\, V}{P_1\, (V-\Delta V)} = \frac{T_0}{T_1}$$

$$\therefore P_0 = \frac{P_1(V-\Delta V)T_0}{VT_1}$$

第3問　状態方程式：P-V図

解(1)

　点 $\rm{A}$ における状態方程式は

$$2p\cdot 2V=nRT_A\tag{1}\label{p6794eq1}$$

一方、気体が外部にした仕事 $W$ は、$W=-pV$ より、

\begin{eqnarray}
W &=& -pV\\
&=& -\frac{1}{4}nRT_A\;\;\because\eqref{p6794eq1}
\end{eqnarray}

解説

　気体が外部にした仕事は、$P-V$ 線図の符号付き面積で表されます。今回の場合、

となりますが、$n$, $R$, $T_A$ で表すことが指定されていますので、\eqref{p6794eq1} の状態方程式から $pV$ を $nRT_A$ に変換します。

解(2)

　下図のようになる。

解説

　$\rm{A}\rightarrow\rm{B}$ は体積の変化なしなので下図のようになります。ここはほぼ解説不要でしょう。体積は $2V$ のままで温度は下がるので、下図のようになります。

また、$\rm{B}\rightarrow\rm{C}$ は、定圧変化なので下図のようになります。ここは少し解説必要ですので、図のすぐ後に行います。

状態方程式は

$$PV=nRT$$

で、$\rm{B}\rightarrow\rm{C}$ は定圧変化だったので $P$ は一定です。$n$, $R$ は当然一定なので、そうすると、

$$V\propto T$$

なので、直線になります。それも、$\rm{B}-\rm{C}$ を延長したら原点を通るような。従って上図のような形になります。

解(3)

問題を再掲

外部から加えられた熱量は過程 $\rm{I}$ と過程 $\rm{II}$ ではどちらが大きいか？

解答

　熱力学第一法則は $Q=\Delta U+W$ であり、各過程のそれを表現するために添え字をつけると

\begin{eqnarray}
Q_I &=& \Delta U_I+W_I\\
Q_{II} &=& \Delta U_{II}+W_{II}
\end{eqnarray}

ここで、$\Delta U_I=\Delta U_{II}$, $W_I<W_{II}$ より、

$$Q_I<Q_{II}$$

解説

　熱力学第一法則は $Q=\Delta U+W$ です。与えた熱量 $Q$ は、内部エネルギーの増加量 $\Delta U$ と気体が外部にした仕事 $W$ に費やされるのである、というものです。

ここで、気体が外部にした仕事 $W$ はこれまでも見てきたように、$P-V$ 図の(符号付き)面積で表されます。

一方、内部エネルギーの増加量 $\Delta U$ はというと、これは温度だけの関数です。特に、単原子分子ならば

$$U=\frac{3}{2}nRT$$

であり、増加量は、

$$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T$$

です。単原子分子でない場合でも、定数が $\displaystyle\frac{3}{2}$ ではないだけで、温度だけの関数であることは変わらないです。

この部分は下記↓の記事で詳しく、しかもサクッと述べています。

第1問-4　電磁気：ローレンツ力

解

　磁場では速さは変わらないから、

$$v_1=v_3$$

電場では加速するから、

$$v_1<v_2$$

よって、

$$v_2>v_3=v_1$$

解説

　ローレンツ力は下記の式で表されます。

$$\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B})$$

いまは電子を考えているので、$q<0$ であることには若干の注意が必要です(この問題を解く上ではあまり影響しません)。($\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$ の意味はすぐ下の「磁場の力は外積で表されている」を参照)

ローレンツ力のうち、磁場の力は進む方向 $\overrightarrow{v}$ に対して常に垂直です。すなわち円運動を行うだけであって、速さは変わりません。よって、$v_1=v_3$ です。

一方の電場の力は常に一定の方向に力がかかるため、その方向に加速していきます。自由落下のイメージです。すなわち、$v_2>v_1$ です。

磁場の力は外積で表されている

　なお、$\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$ の部分は「外積」を表します。外積は高校では扱いませんが知っていると何かと便利です。向きは $\overrightarrow{v}$ から $\overrightarrow{B}$ に回して右ねじが進む方向、大きさは $\overrightarrow{v}$ と $\overrightarrow{B}$ が張る平行四辺形の面積です。外積については↓の記事で取り扱っています。

外積そのもの↓

モーメントでの例↓。モーメントのつり合いの項で「平行四辺形の面積」と説明しているくだり。

第4問　電磁気：導体棒の移動

解(1)

問題の再掲

(1) 図1の初期状態からスイッチ S を閉じる。その後も導体棒の速さが $v$ を保つために外力 $F$ を加える。

初期状態：コンデンサーは空、スイッチ S は開、導体棒の速さは $v$

1. 導体棒 $\rm{ab}$ 間に生じる誘導起電力 $V_1$ の大きさは？
2. S を閉じた直後に導体棒に流れる電流の向きは？
3. 外力 $F$ の大きさは？（選択肢から選べ）
4. 十分な時間がたつまでに外力がした仕事 $W$、コンデンサーに蓄えられているエネルギー $U$、抵抗で発生したジュール熱 $J$ は？

解1. 導体棒 $\rm{ab}$ 間に生じる誘導起電力 $V_1$ の大きさは？

$$V_1=vBl$$

解説

　ここはサクッと公式として覚えておきましょう。覚えるためには（というより理解するためには）この記事↓を読んでください。

解2. S を閉じた直後に導体棒に流れる電流の向きは？

　フレミングの左手の法則より電流の向きは、

$$\rm{b\rightarrow}a$$

解説

　導体棒の中の $+$ の電荷に働く力の向きを考えます。$+$ の電荷は導体棒と共に動くので、右側に速さ $v$ で動いています。

フレミングの左手の法則

　下図のようになります。従って、

$$\rm{b}\rightarrow\rm{a}$$

に起電力が発生するのが分かります。

外積

　ローレンツ力は

$$\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}$$

です。$\overrightarrow{F}$ の向きは、$\overrightarrow{v}$ から $\overrightarrow{B}$ の向きに右ねじを回してねじが進む向きです。従って下図のようになります。

外積については、数学的視点からですが下記↓で詳しく取り上げています。

解3. S を閉じてから時間が $t$ 経ったときの、外力 $F$ を表すグラフは？（選択肢から選べ）

正解は、①

解説

　厳密には数式を使ってグラフの形を出していくのでしょうが、数式を解くのは高校レベルを超えますし、ここでは選択肢が与えられているので何となくのイメージで解いていきます。（選択肢を与えている意図もそういうことでしょう）

まず、S を閉じた直後 $(t=0)$ を考えます。S を閉じた直後は電流が流れるわけで、電流はどこから得たエネルギーを使って流れているかと言えば外力なので、外力は力を込めているはず。従って、この時点で①③④に絞れます。

そして、今度は十分に時間がたった後 $(t=\infty)$ を考えます。十分に時間がたてば今度はコンデンサーに電荷が蓄えられることで電流は流れなくなります。電流が流れないということはどこもエネルギーを消費しないので、外力は力を込めていないはず。従って、①④に絞れます。

最後に、①④のどちらなのか、ですが、これは半分センスになってしまいますが、①が正解です。④だと、「$F=0$ になる時刻 $t$ はいつだ？」とか、「力が急激に変化するポイントがあるなんて不自然」とかいう話になります。

従って、①が正解ということになります。

解4. 十分な時間がたつまでに外力がした仕事 $W$、コンデンサーに蓄えられているエネルギー $U$、抵抗で発生したジュール熱 $J$ は？

■ 外力がした仕事 $W$

問題文にヒントが与えられているので、それに従います。

コンデンサーの容量は $C$、電位差は $V_1$ なので、コンデンサーに蓄えられている電荷 $Q$ は、

$$Q=CV_1$$

これだけの電荷 $Q$ を $V_1$ に逆らって運ぶ仕事は、両者の積で求められるので、

\begin{eqnarray}
W &=& QV_1\\
&=& CV_1^2
\end{eqnarray}

■ コンデンサーに蓄えられているエネルギー $U$

　公式より

$$U=\displaystyle\frac{1}{2}CV_1^2$$

■ 抵抗で発生したジュール熱 $J$

　ここで、$W$, $U$, $J$ には

$$W=U+J$$

の関係があるから、

\begin{eqnarray}
J &=& W-U\\
&=& CV_1^2-\frac{1}{2}CV_1^2\\
&=& \frac{1}{2}CV_1^2
\end{eqnarray}

解(2)

問題の再掲

(2) 図2の初期状態からスイッチ S を閉じる。その後も導体棒の速さが $v$ を保つために外力 $F$ を加える。このとき、S を閉じた後の回路に流れる電流の大きさは図3のようになった。このとき、導体棒の $\rm{ab}$ 間に生じる誘導起電力を $V_2$ とする。

初期状態：コンデンサーは空、スイッチ S は開、導体棒は速さ $v$。

1. S を閉じてから十分に時間がたった時に、コイルに発生する誘導起電力の大きさは？
2. S を閉じてから時間が $t$ 経ったときの、外力 $F$ を表すグラフは？（選択肢から選べ）
3. コイルの自己インダクタンス $L$ を $a$ を用いて表せ。

解1. S を閉じてから十分に時間がたった時に、コイルに発生する誘導起電力の大きさは？

　十分に時間がたてばコイルはただの導線なので、誘導起電力の大きさは

$$0$$

解説

　コイルの正体は、ただの導線です。それをグルグルと巻いています。そのことによりコイルには、

変化を嫌う

という性質が生まれ、それを

誘導起電力

という形で表現、抵抗します。十分に時間がたった後はもう抵抗をあきらめてしまうイメージで、誘導起電力は $0$ となります。ただの導線に戻ってしまう、ということです。

解2. S を閉じてから時間が $t$ 経ったときの、外力 $F$ を表すグラフは？（選択肢から選べ）

正解は、②

解説

　ここも、先の問題(1)-3と同じく、イメージで解いていきます。

まず、S を閉じる前は電流は流れていません。

次に S を閉じた直後 $(t=0$) を考えます。S を閉じた直後はコイルがこれまでの状態を維持しようと抵抗します。つまり、直前には電流は流れていなかったため、直後も流れません。電流が流れないので棒はただの棒であり、$F=0$ です。従って、この時点で②⑤⑥に絞れます。

そして、今度は十分に時間がたった後 $(t=\infty)$ を考えます。十分に時間がたてば今度はコイルは抵抗をあきらめてただの導線になります。その代わり電流が流れるようになっていて、抵抗でエネルギーが消費され続けています。電流が流れているということから、また抵抗で発生しているエネルギーは外力が与えているということから、$F>0$ です。従って、②⑤に絞れます。

最後に、②⑤のどちらなのか、ですが、これは半分センスになってしまいますが、②が正解です。⑤だと、「$F$ が一定になり始める時刻 $t$ はいつだ？」とか、「力が急激に変化するポイントがあるなんて不自然」とかいう話になります。

従って、②が正解ということになります。

解3. コイルの自己インダクタンス $L$ を $a$ を用いて表せ。

コイルに発生する誘導起電力は、

$$V=L\frac{dI}{dt}$$

いま、S を閉じた直後を考えると、$V=V_2$, $\displaystyle\frac{dI}{dt}=a$ より、

\begin{eqnarray}
V_2 &=& La\\
\therefore\; L&=&\frac{V_2}{a}
\end{eqnarray}

まとめ

　25年度の物理の共通テストのうち、繰り返して勉強しがいのある問題を選びました。このような実際の問題を基軸にしながら基礎事項を再度復習していくことで理解の幹が太くなっていきます。

今回の問題の基礎部分の記事では下記があります。