【軌跡はパラメータを消去？】同値性を忘れた瞬間に起こる落とし穴

軌跡問題ではパラメータ消去が基本ですが、無邪気に消すだけでは落とし穴にハマることがあります。大切なのは、消去の背後にある “同値性” の意識です。

パラメータ消去で起こる典型的な落とし穴

問題

$t$ を動かしたときの様子を図示すると、上が $x$–$y$ の関係（求めたいもの）、下が $t$-$x$ の関係（中間生成物：最終的に消えるパラメータの世界）です。

無邪気なパラメータ消去が生む誤り

間違った解

点 $\mathrm{P}(x,y)$ とおくと、

\[ \begin{cases} x=t^2 \tag{1-1}\label{p2000eq1-1}\\ y=t^4 \end{cases} \]

上の式を下に代入すると、

\[ y=x^2 \tag{1-2}\label{p2000eq1-2} \]

一見これで終わりにしたくなりますが、ここに落とし穴があります。

$x$ の取りうる範囲を忘れてはいけない

$t$ は実数全体を動きますが、$x=t^2$ なので $x$ は常に $0$ 以上 です。したがって軌跡は

\[ y=x^2 \quad (x\ge 0) \]

同値性を保つ：代入法の原理

間違った解では、代入した瞬間に「代入元」を忘れてしまっていることが問題です。

本来は、

（上）かつ（下）
⇔
代入後の式 かつ 代入元の式

でなければ同値になりません。今回でいえば、

\[ \begin{cases} x=t^2\\ y=t^4 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} y=x^2\\ x=t^2\ge 0 \end{cases} \]

という対応が必要です。これが 代入法の原理 です。

代入法の原理がよくわかる例

連立方程式の解はグラフの交点なので、下図のようになります。

間違った解

\[ \begin{cases} y=x+1\\ x^2+y^2=5 \end{cases} \]

上の式を下の式に代入して、

\[ x^2+(x+1)^2=5 \]

整理すると $x=-2,1$。これを 下の式に代入して $y$ を求めると、存在しない点まで出てしまいます。

正しい解

代入後は必ず 代入元（上の式） に戻って $y$ を求めます。

$x=-2$ のとき $y=-1$
$x=1\;\;$ のとき $y=2$

\[ (x,y)=(-2,-1),(1,2) \]

レビュー

この問題で間違った解き方をする人は少ないと思いますが、なぜそうしないのかを言語化して理解しておくことが重要です。

間違った解：上かつ下 → 代入後の式 かつ 代入先の式

正しい解：上かつ下 ⇔ 代入後の式 かつ 代入元の式

間違った解では、代入後に 代入先の式 を使って解いてしまい、代入元が完全に消えています。

関連記事とのつながり

パラメータを消去する際には、代入元の条件を必ず保持して同値性を確保する必要があります。下記の記事でも、代入後に場合分けを行うことで代入元の情報をきちんと残していました。

まとめ

軌跡・交点・連立方程式などで代入による文字消去を行うときは、代入元の情報を残すことが同値性を保つ鍵です。

代入先の式だけで進めてしまうと、元の条件とズレた解が混ざってしまいます。代入元を残すという一手間が、正しい軌跡・正しい交点を保証します。