【複素数】基本性質を複素数平面のイメージで当たり前に理解しよう！

　複素数は計算だけでなく、図形的なアプローチを活用することでより深く理解できます。本記事では、絶対値や四則演算の性質、さらに実数・純虚数となる条件を詳しく解説します。例題を通じて学習を進め、複素数の本質を視覚的に捉えられるようになりましょう！

絶対値

式で証明

$$z=a+b\,i$$

と置くと、

$$\begin{eqnarray} z\,\overline{z} &=& (a+b\,i)(a-b\,i) = a^2+b^2\\ &=& |z|^2 \end{eqnarray}$$

イメージで理解

このような感じ↓です。

すなわち、もとあった $z$ に対して $\overline{z}$ は $x$ 軸に対称なところに位置します。

この両者を掛けるということは、
まずは角度で言えば、もとの複素数 $z$ の角度を $\overline{z}$ だけ回転させます。

その上でさらに大きさは両者の積になります。

出来上がった複素数(黄色)は実部だけを持っていますので、大きさの2乗という「実数」を表します。

この辺りの、演算による座標変換は↓の記事をご覧ください。

だから何？

　$|z|^2=z\,\overline{z}$ であることは分かったけれども、「だから何？」という気持ちになっているかもしれません。

問題で与えられる条件で、$|z|=1$ のとき、というのがよくあります。これは原点を中心とした半径1の円を表しますが、これを見たらすかさず、

$$z=\frac{1}{\overline{z}}$$

が使えるかもしれない、と思いましょう。

これが $|z|^2=z\,\overline{z}$ の有力な使いどころの一つです。

例題

　早速 $|z|=1$ が出てきました。
この後の性質も使って解きますので、最後に解説します。

引っかかりやすい罠

　$|z|^2=z\,\overline{z}$ は理解できたとしても、それをすっかり忘れて計算してしまうケースがあります。肝に銘じておきたい罠です。

　なんだ、左辺を展開すれば終わりでしょ、と考えて次のように進めてしまっては、罠にハマっています。

$$|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+2\alpha\beta+|\beta|^2$$

正しくは、

$$|\alpha+\beta|^2=(\alpha+\beta)\overline{(\alpha+\beta)}$$

です。

これも、$\overline{(\alpha+\beta)}$ の続きの式変形にこの節の性質を使いますので、回答は後ろに持っていきます。

四則演算

　ここはサラッと行きます。皆さんは頭の中で図形的な証明(イメージ)をしてみてください。

和と差

積

商

実数・純虚数となる条件

実数となる条件

イメージで理解

　$z$ が実数ということの複素数平面上でのイメージは、

$z$ が実軸上にある

ということです。それに対して $\overline{z}$ は実軸に対して対称であり、すなわち

これもまた実軸上にある

ことになるため、両者は等しいです。

厳密にはこれの逆も示す必要がありますが、そこまではよいでしょう。使えることが重要ですので。

式で理解

　$z$ が実数なら $a$ を実数として $z=a+0\, i$ と置ける。このとき $\overline{z}$ は

$$\overline{z}=a-0\, i$$

なので、$z=\overline{z}$。これも逆を示さないといけませんが、省略。当たり前の感覚をつかめればよいです。

純虚数となる条件

イメージで理解

　$z$ が純虚数ということの複素数平面上でのイメージは、

$z$ が虚軸上にある

ということです。それに対して $\overline{z}$ は実軸に対して対称であり、すなわち

これもまた虚軸上にある

ことになりますが、反対側に行っているため負号が逆です。

式で理解

　$z$ が純虚数なら $b$ を実数として $z=0+b\, i$ と置ける。このとき $\overline{z}$ は

$$\overline{z}=0-b\, i$$

なので、$\overline{z}=-z$。当たり前、と思えればそれでよいです。

垂直に交わる条件

$\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}$ が純虚数

ここでは、厳密な証明というよりはイメージで理解することを目指します。すなわち、

$\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}$ が純虚数

とはどういう状態なのかを考えます。

複素数の割り算は、この記事↓で見たように、

角度の引き算を意味します。別の表現で言えば、両者のなす角を求めています。

両者のなす角が $90^\circ$ であればよいわけで、それは純虚数を意味します。

具体例で確かめる

　$\alpha=2+i$ に対し、$\beta=-2+4i$ は垂直です。割り算をすると逆回転され、その結果として虚軸に一致することでなす角が $90^\circ$ であったと分かります。

実際に計算すると、

$$\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{\beta} &=& \frac{-2+4i}{2+i} = \frac{-2+4i}{2+i}\frac{2-i}{2-i}\\ &=& \frac{-4+2i+8i+4}{5}\\ &=& 2i \end{eqnarray}$$

となり、純虚数なのでなす角が $90^\circ$ であったことが分かります。

別の表現

これは、$\omega=\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}$ と置いた時（すなわち上の例では $\omega = 2i$ となっているわけですが）、

と表現されることもありますが、同じことですね。純虚数と言えばここで扱いました。

また、この話題は2025年度の共通テストでも取り上げられました。↓の記事です。該当箇所はこちら。

例題

$|z|=1$ のとき、$z+\displaystyle\frac{1}{z}$ は実数

実数であることの条件は、ここで述べています。
それを示す際に $|z|=1$ の条件を使うわけですが、それにはここの性質を用います。
そのほか、地味にこの性質も使っています。

解答

題意より、

$$\overline{\left(z+\frac{1}{z}\right)}=z+\frac{1}{z}$$

を示せばよい。

$$\begin{eqnarray} \overline{\left(z+\frac{1}{z}\right)} &=& \overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}\\ &=& \frac{1}{z}+z\qquad (\because |z|^2=z\,\overline{z}=1) \end{eqnarray}$$

別解

強引に解くこともできます。$|z|=1$ の条件を

$$z=\cos\theta+i\,\sin\theta$$

と置き換える方法です。

[解]　$|z|=1$ より $z=\cos\theta+i\,\sin\theta$ と置ける。$(0\le\theta<2\pi)$

このとき、$\overline{z}=\cos\theta-i\,\sin\theta$ であり、また

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{\overline{z}} &=& \frac{1}{\cos\theta-i\,\sin\theta}\\ &=& \frac{1}{\cos\theta-i\,\sin\theta}\frac{\cos\theta+i\,\sin\theta}{\cos\theta+i\,\sin\theta}\\ &=& \cos\theta+i\,\sin\theta \end{eqnarray}$$

より、

$$\begin{eqnarray} \overline{\left(z+\frac{1}{z}\right)} &=& \overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}\\ &=& (\cos\theta-i\,\sin\theta) + (\cos\theta+i\,\sin\theta)\\ &=& 2\cos\theta \end{eqnarray}$$

$|\alpha+\beta|^2+|\alpha-\beta|^2=2(|\alpha|^2+|\beta|^2)$

$|\alpha+\beta|^2$ を安易に展開してはいけません。この性質に則って展開する必要があります。

解答

$$\begin{eqnarray} |\alpha+\beta|^2 &=& (\alpha+\beta)\overline{(\alpha+\beta)}\\ &=& (\alpha+\beta)(\overline{\alpha}+\overline{\beta})\\ &=& \alpha\overline{\alpha}+\alpha\overline{\beta}+\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta} \end{eqnarray}$$

同様に、

$$\begin{eqnarray} |\alpha-\beta|^2 &=& (\alpha-\beta)\overline{(\alpha-\beta)}\\ &=& (\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})\\ &=& \alpha\overline{\alpha}-\alpha\overline{\beta}-\beta\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta} \end{eqnarray}$$

よって、

$$\begin{eqnarray} |\alpha+\beta|^2+|\alpha-\beta|^2 &=& \alpha\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}+\alpha\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}\\ &=& 2(|\alpha|^2+|\beta|^2) \end{eqnarray}$$

まとめ

　複素数の基本的な性質を見てきました。これらの性質は複素数平面をイメージすれば当たり前に感じられますね。これらの性質を当たり前にイメージでき、当たり前に使えるようになれば、複素数の計算問題や証明問題も楽に解けるようになります。

当たり前に思えてきたら、より実践的な問題として下記↓の軌跡の問題に取り組んでみてください。