微分のイメージ増強演習の今回は、「交点の個数」をテーマにします。
2つのグラフの交点の個数を数えることは、そのまま 連立方程式の解の個数 を調べることにつながります。
ここでは、まず「関数と定数の交点」という最も基本的な形から入り、
次に「関数と関数の交点」へと発展させていきます。
なお、姉妹ページとして「接線の方程式をイメージで理解する記事」もあります。
どちらも “グラフの動き” を軸に考えるので、合わせて読むと理解が一段深まります。
関数と定数の交点の個数：ここに帰着させたい基本形
$y=x^3-3x-2$ と $y=a$ の交点の個数を求めよ。
前半の 3 次関数は形が決まっているのでグラフが描けます。
後半の $y=a$ は、$a$ を決めれば横一直線のグラフになります。
つまり、
$a$ の値を動かしながら、横線と 3 次関数の交点の個数がどう変わるかを見る
というイメージです。
順番に見ていきましょう。
$a=2$ のとき：交点は 1 個
まずは $a=2$。
横線は 3 次関数の上側にあり、交点は 1 個です。
$a=0$ のとき：交点は 2 個
$a$ を下げていき、$a=0$ になると交点は 2 個になります。
$a=-1.5$ のとき：交点は 3 個
さらに下げていくと、3 次関数の “くぼみ” に横線が入り込み、交点は 3 個になります。
$a=-4$ のとき：交点は再び 2 個
$a=-4$ では、ちょうど極小値の位置に横線が重なり、交点は 2 個です。
$a<-4$ のとき：交点は 1 個に戻る
これより下では、横線は 3 次関数の下側に抜けていくので、交点はずっと 1 個です。
まとめ：交点の個数
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{ll}
a<-4 & 1個 \\
a=-4 & 2個 \\
-4<a<0 & 3個 \\
a=0 & 2個 \\
a>0 & 1個
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
関数と関数の交点の個数：基本形に帰着させる変形
$y=x^3-2x-2$ と $y=x+a$ の交点の個数を求めよ。
勘のいい人は、
「さっきの問題と同じ形に変形できる」
ことに気づくはずです。
実際に式を整理すると、
$$x^3-2x-2=x+a$$
$$x^3-3x-2=a$$
となり、これは
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=x^3-3x-2 \\
y=a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
の交点の個数と全く同じ問題です。
つまり、先ほどの結果をそのまま使えます。
動画で確認
問題文の通りに
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=x^3-2x-2 \\
y=x+a
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
で $a$ を動かしてみても、やはり $a=0$ と $a=-4$ が境目になります。
もう一歩踏み込んだ解法（接線の傾きから攻める）
もし、動くグラフのイメージをそのまま式に落とし込むなら、
「接線の傾きが 1 になる点」を探す方法も使えます。
ただし、こちらは動くグラフが斜めになる分だけ複雑です。
イメージがしっかりしていれば解けますが、
より簡単に解くなら、動かすグラフはできるだけシンプルにする
のが鉄則です。
まとめ
2 つのグラフの交点の個数を数える問題は、
そのまま 連立方程式の解の個数 を調べる問題です。
今回のポイントは、
- 横線 $y=a$ に帰着できる形に変形する
- 動かすグラフはできるだけシンプルにする
といったところでした。
グラフの交点が連立方程式の解であることは当たり前のようで、実はとても強力な視点です。
詳しくは下の記事でも解説しています。
また、グラフの動きを使って理解するという点では、
姉妹ページの「接線の方程式のイメージ編」も相性が良いです。
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