【軌跡はこうして生まれる】なぜパラメータを消すだけで軌跡が求まるのかを本質から理解する

この記事では下記の動画を例題として挙げ、「パラメータを消すとなぜ軌跡が求まるのか」を本質から理解します。
教科書や解答では「$m$ を消去して軌跡を求める」とさらっと書かれますが、

• なぜパラメータ $m$ を代入すると軌跡が出るのか？
• なぜ $x=0$ で場合分けしないといけないのか？
• 「分母が0になるから」という説明だけではモヤモヤする

と感じる人も多いと思います。

この記事では、まず動画でイメージをつかみ、次に最短ルートの解法を確認し、そのうえで「なぜそうなるのか」という本質を丁寧に言葉にしていきます。最後に、少しだけ設定を変えた類題（問題2）で理解を定着させます。

問題1：$mx-y=0$, $x+my=1$

まずは、今回のメインとなる問題です。

この投稿ではじっくりと本質から説明しますが、まずはサクッと解法だけ知りたいという場合は、次の記事も参考になります。

該当箇所に直接行きたい場合はこちら。

まずはイメージをつかむ（動画）

2直線にはパラメータ $m$ が入っています。これは、

という関係です。$m$ を動かすと交点 $\mathrm{P}$ も動き、その動きが「交点の軌跡」になります。

動画を見ると、交点はどうやら

• 中心 $\left(\dfrac12,0\right)$
• 半径 $\dfrac12$ の円
• ただし原点 $(0,0)$ は通らない

という軌跡を描いているように見えます。

このイメージを持ったまま、次に最短ルートの解法を確認します。

最短ルートで軌跡を求める（解）

まずは教科書的な解法です。ここでは「なぜそうするのか」よりも、「どう解くか」を先に確認します。

解

$$mx-y=0\tag{1}$$ $$x+my=1\tag{2}$$

(i) $x\ne 0$ のとき

(1) より $m=\dfrac{y}{x}$。これを (2) に代入すると、

$$x+\frac{y}{x}y=1$$ 両辺に $x$ をかけて $$x^2+y^2=x$$

整理すると、

$$\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14\tag{3}$$

ただし $x\ne 0$ より $(0,0)$ は除く。

(ii) $x=0$ のとき

(1) より $y=0$。しかし $(0,0)$ を (2) に代入すると

$$0+m\cdot 0=1$$

となり、どんな $m$ でも成り立たない。したがって $(0,0)$ は条件を満たさない。

(i)(ii) より

モヤモヤポイント

ここまでで「どう解くか」は確認できました。ただ、皆さんが本当に知りたいのは「なぜそうするのか」です。モヤモヤを言語化すると、次の2点に集約されます。

• なぜ $m=\dfrac{y}{x}$ を代入すると「交点の軌跡」になるの？
• なぜ $x\ne 0$ と $x=0$ で場合分けするの？

ここからは、このモヤモヤを一つずつ解消していきます。

なぜ m を消すだけで軌跡が出るのか（本質）

ひとことで言えば、

$m$ を消すとは、(1)(2) を同時に満たす点 $(x,y)$ を求めること

だからです。つまり交点を求めているということです。

ただし、ここがモヤモヤしているという前提で、もう少し丁寧に見ていきます。

$m=\dfrac{y}{x}$ の意味

$m=\dfrac{y}{x}$ は、点 $(x,y)$ を通るように (1) の直線 $mx-y=0$ の傾きを逆算した式です。例えば、

• $(1,2)$ → $m=2$
• $(1,1)$ → $m=1$
• $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ → $m=1$

つまり、

になっています。

「これを (2) に代入する」とは何をしているのか

点 $(x,y)$ を通るように決めた $m$ を (2) に代入し、

という操作をしています。

例えば、$(1,1)$ は (1) を満たすので $m=1$ ですが、(2) $x+my=1$ に代入すると成り立たないため除外されます。

一方、$\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ は (1) から $m=1$ となり、(2) に代入しても成り立つため残ります。

つまり、

ということです。

(1) を (2) に代入した式を眺める

(1) を (2) に代入すると、

$$x+\frac{y}{x}y=1\tag{4}$$

となります。これは、(1)(2) を同時に満たす点だけが成り立つ式なので、

交点の軌跡を表す式

になっているわけです。

なぜ $x\ne 0$ と $x=0$ で場合分けするのか

形式的には「$m=\dfrac{y}{x}$ の分母が 0 になるから」ですが、もう少し本質的に見ると、

ということです。例えば $(0,1)$ では、(1) を満たす $m$ は存在しません。つまり、

• $x\ne 0$：対応する $m$ が必ず決まる
• $x=0$：対応する $m$ が決まらない点がある

この性質の違いがあるため、$x=0$ のときだけは別建てで調べる必要があります。

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問題2：$mx-y=0$, $x+my=m$

ここまでの理解をさらに定着させるために、少しだけ設定を変えた類題を扱います。基本的な流れは問題1と同じですが、例外処理の結果が少し変わります。

問題1の2直線は $mx-y=0$, $x+my=1$ でした。右辺が $1$ から $m$ に変わっただけですが、挙動が少し変わります。

まずはイメージをつかむ（動画）

先ほどと同様に、まずは $m$ を動かしたときの交点の動きを動画で眺めます。

動画を見ると、交点は次のように動きます。

• 原点 $(0,0)$ は通る
• $(0,1)$ は通らない
• 交点の軌跡は、中心 $\left(0,\dfrac12\right)$、半径 $\dfrac12$ の円

問題1と似ていますが、原点を通る点が追加されているのが特徴です。

最短ルートの解法

問題1と同じ流れで、まずは最短ルートの解法を確認します。

解

$$mx-y=0\tag{1}$$ $$x+my=m\tag{2}$$

(i) $x\ne 0$ のとき

(1) より $m=\dfrac{y}{x}$。これを (2) に代入すると、

$$x+\frac{y}{x}y=\frac{y}{x}$$ 両辺に $x$ をかけて $$x^2+y^2=y$$

整理すると、

$$x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14\tag{3}$$

ただし $x\ne 0$ より、$(0,0)$, $(0,1)$ は除く。

(ii) $x=0$ のとき

(1) より $y=0$。これを (2) に代入すると、

$$0+m\cdot 0=m$$

となり、$m=0$ のとき成り立つ。したがって $(0,0)$ は条件を満たす。

(i)(ii) より

例外処理の意味をもう一度かみしめる

例外処理は (ii) の「$x=0$ のとき」です。(3) の円と $x=0$ の直線 の交点を図示すると、赤〇が現れます。

この赤〇が軌跡に含まれるかどうかは、

• 含まれる：その点を (1)(2) 同時に満たす $m$ が存在する
• 含まれない：同時に満たす $m$ が存在しない

という基準で判断します。実際に調べると、

• $(0,0)$ は (1)(2) を同時に満たす $m=0$ がある → 軌跡に含まれる
• $(0,1)$ は (1) を満たさない → 軌跡に含まれない

動画でも $(0,1)$ は $m=\infty$ の極限でしか近づかない点として現れていました。

ここで大事なのは、

という姿勢です。

まとめ

パラメータを含む2式からパラメータを消去するとは、言い換えれば

ということです。

連立方程式の解はグラフの交点です。$m$ を動かすと交点が動き、その集合が「交点の軌跡」になります。したがって、

というわけです。

また、$m=\dfrac{y}{x}$ のように分母に変数が来る形では、「分母が0になる」ことがあります。その部分だけは、

というのが、今回の2つの問題で共通していた流れでした。

動画と図でイメージをつかみ、式で本質を確認することで、「パラメータを消す」という一見形式的な操作の裏にある意味が、あなたの中で少しでもクリアになっていたら嬉しいです。