【複素数】複素数平面の軌跡を図形で理解するガイド（円・垂直二等分線・アポロニウスの円）

複素数平面の軌跡問題は、図形的な特徴をつかむと一気に理解が進みます。本記事では、典型的な軌跡の形を例題とともに整理し、図形的な発想と計算的アプローチの両面から解説します。入試でも頻出のテーマなので、ぜひ押さえておきましょう。

$|z-3i|=5$：円

$|z-3i|$ は、$z$ と $3i$ の距離を表します。$3i$ は複素数平面上で $(0,3)$ なので、

$|z-3i|=|z-5|$：垂直二等分線

$|z-3i|$ は点 $(0,3)$ からの距離、$|z-5|$ は点 $(5,0)$ からの距離です。これらが等しい点の集合は、

$ 2|z-1|=|z+2|$：円（アポロニウスの円）

計算で求める

両辺を2乗して整理すると、

\begin{eqnarray} (2|z-1|)^2 &=& |z+2|^2 \\ 4(z-1)\overline{(z-1)} &=& (z+2)\overline{(z+2)} \\ 4z\overline{z}-4z-4\overline{z}+4 &=& z\overline{z}+2z+2\overline{z}+4 \\ 3z\overline{z}-6z-6\overline{z} &=& 0 \\ (z-2)\overline{(z-2)} &=& 4 \\ |z-2| &=& 2 \end{eqnarray}

よって、点 $(2,0)$ を中心とする半径 $2$ の円です。

図形的に考える（アポロニウスの円）

$2|z-1|=|z+2|$ は、

$$|z-1|:|z+2|=1:2$$

と書けます。つまり、

これは有名な アポロニウスの円で、

線分の内分点と外分点を直径の両端とする円

になります。

ちょっとひっかけ？ $|iz+3|=|z-5|$

一見すると $z$ に係数がついているので円に見えますが、実は 垂直二等分線のタイプ です。

$$|iz+3|=|i(z-3i)|=|i||z-3i|=|z-3i| \quad (\because |i|=1)$$

よって元の式は

$$|z-3i|=|z-5|$$

となり、先ほどと全く同じ垂直二等分線になります。

入試問題より

慶應義塾大学・理工学部（2025年度）

解答

$$|z+i|:|z-\sqrt{3}|=2:1$$

より、点 $\mathrm{A}(0,-1)$ と $\mathrm{B}(\sqrt{3},0)$ を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{C}$、外分する点 $\mathrm{D}$ を直径とする円になります。

中心：$\left(\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3},\,\displaystyle\frac{1}{3}\right)$

半径：$\displaystyle\frac{4}{3}$

別解や類題は以下の記事にまとめています。

まとめ

複素数平面の軌跡問題は、図形的に理解できると圧倒的に楽になります。図形的発想に至らない場合でも、計算で突破できる問題も多いので、両方のアプローチを練習しておくと安心です。

より実践的な問題は下記にまとめていますので、続けて取り組むと理解が深まります。