【垂線の足】傾き・ベクトル方程式・射影ベクトルで理解する3つのアイデア

垂線の足を求める方法は一つだけではありません。
傾きの積を使う基本的な考え方から、法線ベクトルを使ったベクトル方程式、そして最速で求められる射影ベクトルまで、複数のアプローチがあります。

この記事では、同じ問題を「初級 → 中級 → 上級」と段階的に3つの方法で解説します。
計算量は多いけれど分かりやすい方法から、プログラムにも使いやすい射影ベクトルまで揃えていますので、自分に合った解き方を見つけてみてください。

なお、射影ベクトルの考え方は、

• 【直線に関して対称な点】
• 【点と直線の距離】

といった応用問題でもそのまま使えます。

初級：傾きの積を利用する方法

考え方：傾きの積が $-1$

垂直に交わる直線の傾き同士を掛けると $-1$ になります。
つまり、傾き $-\displaystyle\frac{a}{b}$ の直線に垂直な直線の傾きは $\displaystyle\frac{b}{a}$ です。

青線の式を

$$y=-\displaystyle\frac{a}{b}x+\displaystyle\frac{c}{b}$$

と、ちょっと難しい式にしてしまっているのは、
次の「法線ベクトルを利用」の絵

$$ax+by=c$$

とそろえるためです。

計算例

点 $\mathrm{H}(a,b)$ と置くと、$\mathrm{PH}$ の傾きが $-\displaystyle\frac12$ になればよいので、

$$\frac{b-4}{a-(-1)}=-\frac12 \tag{1}\label{p1362eq1}$$

また、$\mathrm{H}$ は直線 $y=2x+1$ 上にあるので
$$b=2a+1 \tag{2}\label{p1362eq2}$$

\eqref{p1362eq1}, \eqref{p1362eq2} を解いて
$$\mathrm{H}(1,3)$$

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中級：ベクトル方程式を利用する方法

ベクトル方程式とは

3次元版ですが、こちらにまとめています。

法線ベクトルとは

ある直線や平面に対して垂直なベクトルです。

法線ベクトルは $ax+by=c$ の係数

直線

$$ax+by=c$$

に垂直なベクトル（法線ベクトル）は

$$\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$$

です。

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これは3次元でも同様で、平面

$$ax+by+cz=d$$

の法線ベクトルは

$$\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix}$$

です。

考え方：$\mathrm{H}$ を与える媒介変数値を求める

$\mathrm{P}$ から $\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$ 方向にどれだけ進めば $\mathrm{H}$ に到達するか、ということです。

計算例

直線 $2x-y=-1$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$。

点 $\mathrm{P}(-1,4)$ を通りこの方向に進む直線は

$$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$$

これが $2x-y=-1$ に交わるのは $t=1$ のとき。

$$\therefore\;\mathrm{H}(1,3)$$

補足：共通テストでの類題

24年度共通テストでは、3次元のベクトル方程式を扱う問題が出題されました。
（内積ゼロがミソの問題です。IIB-第5問）

上級：射影ベクトルを利用する方法（本命）

射影ベクトルとは

「射影ベクトル」は、あたかも真上から光を当ててできる影のようなベクトルです。
垂線の足を一発で求められる最速の方法です。

なぜこの右辺が $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を表すのか？

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ の向きは $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の向き

まず、\eqref{p1362eq1-1}は、

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\alpha\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$

の形をしています。これは、

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ の向きは $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の向き

ということを表しています。

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=|\overrightarrow{\mathrm{OH}}||\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$

これは内積の図形的意味です。

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}\cdot\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}$ と見る

このように見ると、ここに「内積の図形的意味」の、

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=|\overrightarrow{\mathrm{OH}}||\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$$

を代入することにより、

$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|\cdot\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}$$

です。

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は 向きが $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ で大きさが $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$ のベクトル

ここで、

$$\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}$$

の大きさは $1$ です。これに $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$ を掛けているので、

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ は 向きが $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ で大きさが $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$ のベクトル

を意味し、確かに正しいです。

考え方：直線方向への射影

$\overrightarrow{\mathrm{QA}}$ 上に $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ を射影します。

なお、$\overrightarrow{\mathrm{QA}}$ はより単純な $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$ でもかまいませんが、
求めるべき $\overrightarrow{\mathrm{QH}}$ との混同を避けるため、あえて $\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$ にしています。
（自分でやるときは $\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$ でかまいません。）

計算例（直線方向への射影）

点 $\mathrm{Q}(0,1)$、$\mathrm{A}(2,5)$ とすると、$\mathrm{P}(-1,4)$ とから、

$$\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{QH}} &=& \frac{\overrightarrow{\mathrm{QA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QP}}}{|\overrightarrow{\mathrm{QA}}|^2}\cdot\overrightarrow{\mathrm{QA}}=\frac{\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}\right|^2}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$

$\mathrm{Q}$ の座標が $(0,1)$ なので、

$$\mathrm{H}(1,3)$$

補足（向きが逆でもOK）

$\overrightarrow{\mathrm{QA}}$ の向きは逆でも同じ結果になります。

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考え方：法線方向への射影（本命）

$\overrightarrow{n}$ 上に $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ を射影します。

計算例（法線方向への射影）

$2x-y+1=0$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$。

直線 $y=2x+1$ 上の点の一つ $(0,1)$ を $\mathrm{Q}$ と置くと、

$$\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PH}} &=& \frac{\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|^2}\cdot\overrightarrow{n}= \frac{\begin{pmatrix}1 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix}\right|^2}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$

$\mathrm{P}$ の座標が $(-1,4)$ なので、

$$\mathrm{H}(1,3)$$

補足（向きが逆でもOK）

$\overrightarrow{n}$ を逆向きにしても同じ結果になります。

まとめ：状況別のおすすめ解法

状況	方法	理由
基本を理解したい	初級：傾きの積	理屈が簡単
計算量を減らしたい	中級：ベクトル方程式	理屈が比較的簡単で手順が短い
最速で求めたい	上級：射影ベクトル	ほぼ一発で求まる

点と直線の距離は、射影ベクトル（法線方向）で最もスマートに求められます：