【名古屋大学 2024】平面のベクトル方程式と最短距離｜図解で直感！

名古屋大学 2024年度 の空間ベクトルの問題は、平面のベクトル方程式・垂線の足・最短距離という、空間ベクトルの本質がぎゅっと詰まった良問です。図解とアニメーションを使いながら、丁寧に理解を深めていきます。

名古屋大学（24年度）

この問題は、平面のベクトル方程式と垂線の足＝内積ゼロが理解できていればスムーズに解けます。

領域 $K$ のイメージ

領域 $K$ は、$\mathrm{A}$ を基点として $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の非負方向に広がる「平面上の三角形領域」です。

まずは $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を求めておきます。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$$

(1) 内積を求める

計算はシンプルです。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=6,\quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2$$

(2) 垂線の足 Q を求める

方針

垂線の足 $\mathrm{Q}$ は、平面 $H$ を張る2つの方向ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ に対して内積ゼロになる点です。

解答

$\mathrm{Q}$ は平面 $\mathrm{H}$ 上にあるので、

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\alpha\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

とおけます（平面のベクトル方程式については、こちらの記事で詳しく解説しています）。

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内積ゼロの条件

$3$$\alpha+$$2$$\beta+1=0,\quad $$2$$\alpha+$$6$$\beta-4=0$

を解くと、

$$\alpha=-1,\quad \beta=1$$

ここで、(1) で求めた内積

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3$$,\quad $$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=6$$,\quad $$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2$

を使っています。

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よって、

$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\tag{2-1}\label{eq2-1}$$

アニメーション解説

$\mathrm{Q}$ が平面 $H$ 上の「垂線の足」になっている様子をアニメーションで確認してみましょう。確かにアニメーションでも、

$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

となっていることが分かります。

(3) $\mathrm{R}$ が存在することを示す

方針

領域 $K$ 内の点 $\mathrm{P}$ を動かすと、線分 $\mathrm{QP}$ と半直線 $\mathrm{AC}$ は必ず交わります。その交点を $\mathrm{R}$ とすれば、$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{QP}$ 上かつ半直線 $\mathrm{AC}$ 上にある点になります。

ベクトルで「直線上の点」を表すときは、

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\,\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}\quad(=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\,\overrightarrow{\mathrm{AB}})$$

の形で表すのが基本です（詳しくは下記記事を参照ください）。

解答

$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{QP}$ 上の点なので、

$$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=(1-\omega)\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\omega\overrightarrow{\mathrm{AP}}\quad (0\le\omega\le1)$$

と書けます。ここで、

\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{AQ}}&=&-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\tag{2-1:再掲}\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}&=&s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\quad (s,t\ge0) \end{eqnarray}

を用いると、

$$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=(s\omega+\omega-1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+(t\omega-\omega+1)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\tag{3-1}\label{eq3-1}$$

一方、$\mathrm{R}$ は半直線 $\mathrm{AC}$ 上にあるので、

$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=r\overrightarrow{\mathrm{AC}},\quad$ $r\ge 0$

と書けます。\eqref{eq3-1} と見比べると、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 成分が $0$ になる必要があるので、

$$s\omega+\omega-1=0\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{1}{s+1}$$

（$s\ge0$ なので分母は $0$ になりません。）

このとき、

$$r=\frac{s+t}{s+1}$$

となり、$s,t\ge0$ より $r\ge0$ です。よって、題意の $\mathrm{R}$ が存在することが示せました。

アニメーション解説

点 $\mathrm{P}$ が領域 $K$ 内で動くとき、$\mathrm{R}$ は常に $\mathrm{A}$ よりも $\mathrm{C}$ 側にあり、半直線 $\mathrm{AC}$ 上を動きます。この様子をアニメーションで確認してみましょう。

(4) 原点から最も近い点 $\mathrm{S}$ を求める

方針

直角三角形より、

$$\mathrm{OS}^2=\mathrm{OQ}^2+\mathrm{QS}^2$$

$\mathrm{OQ}$ は一定だから、$\mathrm{OS}$ が最小になるのは $\mathrm{QS}$ が最小のときです。

(3) より、線分 $\mathrm{QP}$ は必ず半直線 $\mathrm{AC}$ と交わるので、$\mathrm{QS}$ が最小になるのは、

• $\mathrm{S}$ が半直線 $\mathrm{AC}$ 上にあり、
• $\mathrm{QS}\perp\mathrm{AC}$ であるとき。

領域 $K$ の「すれすれ」の位置で $\mathrm{AC}$ に垂直な点が $\mathrm{S}$ になります。

解答

以上をベクトルで書き下すと、

• $\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\gamma\overrightarrow{\mathrm{AC}}\;,\ \gamma\ge0$
• $\overrightarrow{\mathrm{QS}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$

となります。

よって、

\begin{eqnarray} 0&=&\overrightarrow{\mathrm{QS}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\ &=&(\overrightarrow{\mathrm{AS}}-\overrightarrow{\mathrm{AQ}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\ &=&(\gamma\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\ &=&6\gamma+2-6 \end{eqnarray}

$$\therefore\;\gamma=\frac{2}{3}$$

したがって、

$$\mathrm{S}\left(\frac{11}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)$$

まとめ

名古屋大学2024年度まとめ

名古屋大学2024年度の空間ベクトル問題は、平面の表現・垂線の足・最短距離という空間ベクトルの本質が詰まった良問でした。これらの基礎をしっかり理解しておくと、どんな空間ベクトル問題にも応用できます。

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