【導体棒の電磁誘導】起電力 vBl・電磁力 IlB・エネルギーの流れを典型問題で完全攻略

　ここでは、導体棒が磁場中を動くときに生じる「誘導起電力・電流・電磁力・エネルギー」のつながりを、実戦的な問題を通して整理します。構造はシンプルですが、物理の本質が詰まっており、入試で頻出のテーマです。

　2025年度の共通テストにも類題が出ており、ここで扱う考え方がそのまま使われています。

　なお、誘導起電力 $vBl$ や電磁力 $IlB$ の背景は、姉妹ページで体系的にまとめています。ここでは、それらを実際の問題でどう使うかに焦点を当てます。

0. 問題の共通設定

次の設定で、この後の1～3の状況を考えます。

1. 一方の導体棒のみを動かす

　この状況は「導体棒の基本モデル」で、誘導起電力 → 電流 → 電磁力 → 外力の仕事 という流れが最も素直に現れます。まずは結果を求め、その後で意味を整理します。この後の 2・3 の問題でも、この流れが繰り返し登場します。

解：ほとんど公式通り

(1) 起電力

$$V = v_0Bl$$

(2) 電流

$$I = \frac{v_0Bl}{R_a+R_b}$$

(3) 電圧

$$V_a = \frac{R_a}{R_a+R_b}\,v_0Bl$$

$$V_b = \frac{R_b}{R_a+R_b}\,v_0Bl$$

(4) 電磁力

$$F_a = F_b = lIB = \frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v_0$$

(5) 外力と仕事率

棒bが磁界から受ける力 $F_b$ と同じだけの力を加えればよいから、

$$F_0 = F_b = \frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v_0$$

仕事率はこれに速さ $v_0$ を掛けて、

$$P_0 = F_0v_0 = \frac{(v_0Bl)^2}{R_a+R_b}$$

解説：外力の仕事はすべて熱に変換

回路で発生するジュール熱を求めてみます：

\begin{eqnarray}
I^2(R_a+R_b) &=& \left(\frac{v_0Bl}{R_a+R_b}\right)^2\, (R_a+R_b)\\
&=& \frac{(v_0Bl)^2}{R_a+R_b}
\end{eqnarray}

これは、(5)で求めた値と一致。つまり、

外力がした仕事がそのままジュール熱になっている

ことがわかります。

2. 一方を動かし、他方が追いかける

解：物理的イメージを言語化

振る舞い

　a は右向きに加速し、最終的に速度 $v_0$ で等速運動する。

理由

拘束を解いた瞬間は、a には右向きの電磁力 $F_a$ が働いているため加速する。

加速すると a にも誘導起電力が生じ、回路電流が減少 $(i<I)$ し、電磁力も弱まる $(f_a<F_a)$。

　速度が $v_0$ に達すると電流は 0 になり、磁界から力を受けなくなるため、その速度を保つ。

3. 動かしていた導体棒を止める

解：エネルギー保存で一発

　a は電磁力によって減速し、運動エネルギーを失う。そのエネルギーはすべてジュール熱に変わるため、

$$Q=\frac12 mv_0^2$$

解説：大学範囲でまじめに解く

　真面目に解くと次のようになりますが、これも高校範囲を超えるので、エネルギー保存の法則を用いることで十分です。エネルギー保存の法則は運動方程式を式変形したものに過ぎないからです。↓の記事を参考にしてください。

真面目に解く

　ある時刻 $t$ において導体棒aの速度が $v$ だとすると、このときの回路で消費する電力 $p$ は、

$$p=\frac{(vBl)^2}{R_a+R_b}\cdots ①$$

一方、導体棒aの運動方程式は、(4)と同様に考えて、

$$m\frac{dv}{dt}=-\frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v\cdots ②$$

求めるジュール熱 $Q$ は、回路で消費する電力 $p$ の時間総和なので、①を $t=0$ から $t=\infty$ まで積分すれば得られる。

ここで積分の途中で②を代入することに注意して、予め②を次のように変形しておく。

$$m\frac{dv}{dt}\cdot v\, dt=-\frac{(Bl)^2}{R_a+R_b}v\cdot v\, dt\cdots ②^\prime$$

ゆえに、

\begin{eqnarray}
Q &=& \int_{t=0}^{t=\infty} p\, dt = \int_{t=0}^{t=\infty} \frac{(vBl)^2}{R_a+R_b}\, dt\\
&=& -\int_{v=v_0}^{v=0}mv\, dv\quad\because ②^\prime\\
&=& -\frac{1}{2}m\left[v^2\right]_{v_0}^0\\
&=& \frac{1}{2}mv_0^2
\end{eqnarray}

まとめ

　導体棒の電磁誘導は、起電力 → 電流 → 電磁力 → 運動 → エネルギーという流れで理解すると非常に見通しがよくなります。ここで扱った問題は、その流れを実戦的に確認するための典型例です。

　実際の入試例として、2025年度共通テストも参考にしてください。

　また、誘導起電力と電磁力の背景は姉妹ページでまとめています。